Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Dekadischer, binärer und natürlicher Logarithmus

Inhaltsverzeichnis:

 

In der Mathematik unterscheidet man neben dem allgemeinen Logarithmus drei weitere Logarithmen-Systeme. Diese Systeme unterscheiden sich von der allgemeinen Form des Logarithmus dadurch, dass sie alle eine festgelegte Zahl als Basis besitzen. Im Gegensatz zum allgemeinen Logarithmus, bei dem die Basis einen beliebigen Wert besitzt, hat die Basis in einem Logarithmen-System immer denselben Wert. Der Numerus bzw. der Logarithmand ist auch in Logarithmen-Systemen beliebig. Im Folgenden schauen wir uns die drei gängigen Logarithmen-Systeme an.

Gut zu wissen

Hinweis

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Was bedeutet der Logarithmus nochmal?

Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.
Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.

Der Logarithmus stellt folgende Frage: Mit welcher Zahl muss ich die Basis $\textcolor{blue}{a}$ hoch nehmen, um den Numerus $\textcolor{black}{b}$ zu erhalten?

Dekadischer Logarithmus

Das bekannteste Logarithmen-System ist das des dekadischen Logarithmus. Der dekadische Logarithmus zeichnet sich dadurch aus, dass seine Basis immer den Wert $10$ besitzt. Anstatt des ausführlichen Ausdrucks $\log_{10}(b)$ schreibt man $\lg{b}$.

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Die Basis eines dekadischen Logarithmus hat immer den Wert $10$.

$\log_{10}~=~lg$

Der dekadische Logarithmus findet beispielsweise Anwendung beim Lösen von Exponentialgleichungen, d.h. Gleichungen, bei denen die unbekannte Variable $x$ der Exponent einer Potenz ist.

Beispiel

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$\lg(1000) = \log_{10}(1000) = 3$

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Binärer Logarithmus

Beim binären Logarithmus hat die Basis immer den Wert $2$. Man nennt den binären Logarithmus auch dualen Logarithmus. Wie schon bei dem dekadischen Logarithmus wird der Ausdruck $\log_{2}$ nicht immer ausgeschrieben. Je nachdem, ob man sich für die Bezeichnung binär oder dual entscheidet, schreibt man $lb$ oder $ld$.

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Logarithmen zur Basis $2$ werden binäre oder auch duale Logarithmen genannt.

$\log_{2} = lb = ld$

Der binäre Logarithmus wird dir in deinem Mathematikunterricht nicht oft begegnen. Er findet vor allem in der Informatik zur Berechnung von Binärsystemen Anwendung.

Beispiel

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$lb(8) = ld(8) = \log_{2}(8) = 3$

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis $e$ (Eulersche Zahl). Die Eulersche Zahl ist wie $ \pi$ eine irrationale Konstante. Du wirst in deinem späteren Mathematikunterricht noch oft auf $e$ stoßen. Sie wird vor allem in der Analysis verwendet. Der natürliche Logarithmus wird mit $ln$ abgekürzt.

Der natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis $e$.

$\log_{e}~=~ln$

$e = 2,71828...$

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Der natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis $e$.

$\log_{e}~=~ln$

$e = 2,71828...$

 

Beispiel

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$ln(9) = \log_{e}(9) \approx 2,197$

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Wie lautet das Ergebnis dieses natürlichen Logarithmus?

$ln~9$

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