Mengen und Elemente in der Mathematik
Mengen und Elemente sind wichtige Begriffe in der Mathematik. Wir erklären in diesem Kapitel die beiden Begrifflichkeiten und auch weiteren wichtigen Begriff wie Mächtigkeit.
Definition des Begriffs Menge
In der Mathematik gebrauchst du viele bestimmte Zahlen, von den natürlichen Zahlen bis hin zu den reellen Zahlen. Diese Begriffe bezeichnen jeweils eine gewisse Menge an Zahlen, denn der Begriff Menge bedeutet eine Kategorie von Zahlen mit gleichen oder ähnlichen Eigenschaften. Hierbei kann die Menge der Zahlen unendlich groß sein oder aber auch nur eine kleine Anzahl von Zahlen beinhalten.
Merke
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Eine Menge ist in der Mathematik eine Gruppe von Zahlen mit ähnlichen oder gleichen Eigenschaften. Ein Beispiel sind die natürlichen Zahlen.
Die Größe von Mengen ist variabel.
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Darstellung von Mengen
Damit du eine Menge darstellen kannst, brauchst du noch mathematische Symbole. Hierfür wird das Element-Symbol genutzt. Wenn wir also sagen wollen, dass die Zahl $5$ ein Teil der Menge M ist, dass schreiben wir:
$5 \in M$.
Hierbei ist die Zahl $5$ ein Element, also ein Wert in der Menge M. Jeder Wert in einer Menge wird also als Element bezeichnet.
Merke
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Elemente sind Werte in einer bestimmten Menge. Die Schreibweise ist:
$x \in M$
Wenn du aber eine ganze Menge darstellen möchtest und nicht nur zeigen willst, dass ein Element ein Teil einer bestimmten Menge ist, benötigst du eine andere Schreibweise. Sagen wir hierfür, dass die Zahlen $1,2,3,4 \;$ und $5$ Teil der Menge $M$ sind. Dann schreibst du die Menge M wie folgt:
$M = \{ 1,2,3,4,5 \}$
Genauso kann man auch Zahlen, die logischerweise dazugehören, weglassen. Etwa die Zahlen $3$ und $4$, denn es ist ersichtlich, dass nach der $1$ und der $2$ automatisch $3$ und $4$ folgen müssen. Wir schreiben dann:
$M = \{ 1,2,...,5 \}$
Merke
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Mengen werden in der aufzählenden Schreibweise dargestellt:
$M = \{ 1,2,3,4,5 \}$
Um Platz zu sparen können bestimmte Zahlen auch ausgelassen werden. Diese werden mit Auslassungspunkten ersetzt:
$M = \{ 1,2,...,5 \}$
Definition der Mächtigkeit
Wenn du eine Menge gegeben hast, kannst du auch die Mächtigkeit dieser Menge bestimmten. Der Begriff Mächtigkeit beschreibt die Anzahl der Elemente in einer Menge. Du kannst statt Mächtigkeit auch den Begriff Kardinalität vorfinden.
Wenn du also die Mächtigkeit einer Menge herausfinden willst, dann zählst du einfach, wie viele Elemente die Menge beinhaltet. Bei unserer Beispielmenge ist das:
$M = \{ 2,4,6,8,10 \}$
Mächtigkeit: $5$, da genau $5$ Elemente enthalten sind.
Merke
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Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge beschreibt die Anzahl der Elemente, die enthalten sind.
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