Wurzeln multiplizieren und dividieren
Ähnlich wie Potenzen können auch Wurzeln multipliziert oder dividiert werden. Dazu musst du nur einige wenige Regeln beachten.
Beim Multiplizieren und Dividieren müssen wir zwei Typen von Wurzeln unterscheiden:
- gleichnamige Wurzeln und
- ungleichnamige Wurzeln.
Gut zu wissen
Gleichnamige Wurzeln sind Wurzeln, deren Wurzelexponenten gleich sind.
$\sqrt[\textcolor{red}{n}]{a}$ und $\sqrt[\textcolor{red}{n}]{b}$
Ungleichnamige Wurzeln sind Wurzeln, deren Wurzelexponenten nicht gleich sind.
$\sqrt[\textcolor{red}{n}]{a}$ und $\sqrt[\textcolor{red}{m}]{b}$
Wenn du nur eine einzige Wurzel betrachtest, kannst du nicht sagen, ob sie gleichnamig oder ungleichnamig ist, weil du dafür immer eine zweite Wurzel benötigst. Die Radikanden spielen bei diesen Begriffen keine Rolle und können sowohl gleich als auch unterschiedlich sein.
Gleichnamige Wurzeln multiplizieren
Das Multiplizieren gleichnamiger Wurzeln ist denkbar einfach. Du musst nur die Zahlen unterhalb der Wurzel miteinander multiplizieren und unter einer Wurzel zusammenfassen:
$\sqrt{\textcolor{blue}{50}} \cdot \sqrt{\textcolor{red}{2}} = \sqrt{\textcolor{blue}{50} \cdot \textcolor{red}{2}} = \sqrt{100}$
Wenn die Wurzeln Koeffizienten besitzen, musst du auch diese multiplizieren und vor die Wurzel schreiben.
$(\textcolor{blue}{3} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{50}}) \cdot (\textcolor{red}{5} \cdot \sqrt{\textcolor{red}{2}}) = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{50} \cdot \textcolor{red}{2}} = 15 \cdot \sqrt{100}$
Merke
Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem die Radikanden miteinander multipliziert werden und zusammen unter eine Wurzel geschrieben werden.
$\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}} \cdot \sqrt[n]{\textcolor{red}{b}} = \sqrt[n]{\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}}$
Beispiel
$\sqrt[3]{15} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{15 \cdot 9} = \sqrt[3]{135}$
$\sqrt[5]{123} \cdot \sqrt[5]{12} = \sqrt[5]{123 \cdot 12} = \sqrt[5]{1476}$
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{36} = \sqrt{9 \cdot 36} = \sqrt{324}$
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Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren
Ungleichnamige Wurzeln können zunächst nicht multipliziert werden. Um sie multiplizieren zu können, müssen sie gleichnamig gemacht werden, das heißt, sie müssen denselben Wurzelexponenten haben.
$\sqrt[\textcolor{red}{3}]{20} \cdot \sqrt[\textcolor{red}{5}]{32}~~~~~NICHT~MOEGLICH$
Um aus ungleichnamigen Wurzeln gleichnamige zu machen, müssen wir den Wurzelexponenten erweitern.
Gut zu wissen
Du weißt nicht genau, wie man Wurzelexponenten erweitert? Für dieses Thema bieten wir einen eigenständigen Lerntext an. Wenn du noch Probleme mit dieser Methode hast, schaue dort nach!
$(\sqrt[\textcolor{red}{3}]{20}) \cdot (\sqrt[\textcolor{red}{5}]{32}) \rightarrow (\sqrt[\textcolor{red}{3} \cdot 5]{20^5}) \cdot (\sqrt[\textcolor{red}{5} \cdot 3]{32^3}) = (\sqrt[\textcolor{red}{15}]{20^5}) \cdot (\sqrt[\textcolor{red}{15}]{32^3}) = \sqrt[\textcolor{red}{15}]{(20^5) \cdot (32^3)}$
Merke
Ungleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem sie zunächst durch die Erweiterung des Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden.
Gleichnamige Wurzeln dividieren
Auch das Dividieren von gleichnamigen Wurzeln folgt einem einfachen Prinzip. Ähnlich wie bei der Multiplikation kannst du die beiden Radikanden durcheinander teilen und unter eine gemeinsame Wurzel schreiben.
$\frac{\sqrt{\textcolor{blue}{16}}}{\sqrt{\textcolor{red}{8}}} = \sqrt{\frac{\textcolor{blue}{16}}{\textcolor{red}{8}}} = \sqrt{2}$
Merke
Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem der Quotient aus den beiden Radikanden unter eine Wurzel geschrieben wird.
$\frac{\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}}}{\sqrt[n]{\textcolor{red}{b}}} = \sqrt[n]{\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}}}$
Beispiel
$\frac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{15}{3}} = \sqrt[3]{5}$
$\frac{\sqrt{44}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{44}{11}} = \sqrt{4}$
$\frac{\sqrt[5]{256}}{\sqrt[5]{4}} = \sqrt[5]{\frac{256}{4}} = \sqrt[5]{64}$
Ungleichnamige Wurzeln dividieren
Ungleiche Wurzeln können zunächst nicht dividiert werden. Genau wie beim Multiplizieren kannst du aber auch hier den Wurzelexponenten erweitern:
$\frac{\sqrt[2]{20}}{\sqrt[3]{9}} \rightarrow \frac{\sqrt[2 \cdot 3]{20^3}}{\sqrt[3 \cdot 2]{9^2}} = \frac{\sqrt[6]{8000}}{\sqrt[6]{81}} = \sqrt[6]{\frac{8000}{81}}$
Merke
Ungleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem sie zunächst durch die Erweiterung des Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden.
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