Wie funktioniert das teilweise Wurzelziehen?
Es gibt viele Fälle, bei denen du durch das Wurzelziehen sehr unübersichtliche Zahlen mit vielen Nachkommastellen erhältst. Um auch solche Wurzeln ausrechnen bzw. vereinfachen zu können, wenden wir das teilweise Wurzelziehen an. Man nennt das teilweise Wurzelziehen auch partielles Radizieren.
Bevor wir uns die genaue Vorgehensweise des teilweisen Wurzelziehens anschauen, müssen wir zunächst verstehen wo die Unterschiede zwischen diesen einzelnen Typen von Wurzeln liegen:
- Vollständig-ziehbare Wurzeln
- Nicht-ziehbare Wurzeln
- Teilweise-ziehbare Wurzeln
Vollständig-ziehbare Wurzeln
Vollständig-ziehbare Wurzeln ergeben eine glatte Zahl. Allgemein kann man sagen, dass Wurzeln vollständig ziehbar sind, wenn der Exponent unter der Wurzel ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.
$\sqrt[2]{256} = \sqrt[2]{4^4}$
Die Zahl unter der Wurzel lässt sich als Potenz mit dem Exponenten $4$ schreiben. Der Exponent ist also ein Vielfaches des Wurzelexponenten ($2$) und somit ist die Wurzel vollständig ziehbar.
Merke
Eine Wurzel ist vollständig ziehbar, wenn der Wert unterhalb der Wurzel als eine Potenz geschrieben werden kann, deren Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.
$\sqrt[2]{a^2}$ , $\sqrt[2]{a^6}$
$\sqrt[3]{a^3}$ , $\sqrt[3]{a^9}$
Beispiel
$\sqrt[2]{16} = \sqrt[2]{4^2} = 4$
$\sqrt[2]{36} = \sqrt[2]{6^2} = 6$
$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$
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Nicht-ziehbare Wurzeln
Eine Wurzel ist nicht ziehbar, wenn der Exponent der Potenz unter der Wurzel kein Vielfaches des Wurzelexponenten und kleiner als der Wurzelexponent ist.
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4^2}$
Du siehst, dass der Wert des Exponenten weder größer als der Wurzelexponent noch ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.
Merke
Eine Wurzel ist nicht-ziehbar, wenn der Exponent der Potenz unter der Wurzel kein Vielfaches des Wurzelexponenten und kleiner als der Wurzelexponent ist.
$\sqrt[2]{a}$ , $\sqrt[3]{a^2}$
Beispiel
Nicht-ziehbare Wurzeln
$\sqrt{29} \approx 5,38$
$\sqrt{23} \approx 4,79$
$\sqrt{67} \approx 8,18$
Teilweise-ziehbare Wurzeln
Teilweise-ziehbare Wurzeln sind ein, für uns entscheidender, Sonderfall. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass der Exponent der Potenz unter der Wurzel zwar kein Vielfaches des Wurzelexponenten ist, aber größer als der Wurzelexponent ist.
Merke
Eine Wurzel ist teilweise-ziehbar, wenn der Exponent der Potenz unter der Wurzel größer als der Wurzelexponent ist, jedoch kein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.
$\sqrt[2]{a^5}$ , $\sqrt[3]{a^8}$
Vorgehen beim teilweisen Wurzelziehen
Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegst du die teilweise-ziehbare Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht-ziehbaren Teil. Das bedeutet, dass du den Radikanden unter der Wurzel in ein Produkt aus zwei Zahlen zerlegst. Von einer dieser Zahlen musst du die Wurzel ziehen können.
$\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11}$
Methode
Faktoren unter der Wurzel
$\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $
$\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{11} = 2\cdot \sqrt{11}$
Wie du siehst, haben wir die teilweise-ziehbare Wurzel in ein Produkt aus einer ganzen Zahl und einer nicht-ziehbaren Wurzel umgeformt.
Beispiel
Teilweises Wurzelziehen
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot \sqrt{5}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2}$
$\sqrt[5]{128} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 2^2} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2^2} = 2 \cdot \sqrt[5]{4}$
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