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Was sind Quadrat- und Kubikwurzeln?

Was sind Quadrat- und Kubikwurzeln? | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Artikel befassen wir uns mit der Frage, was eigentlich eine Quadrat- oder Kubikwurzel ist.

Das Wurzelziehen ist das Gegenteil des Potenzierens. Anstatt Wurzelziehen sagt man auch radizieren. Das mathematische Symbol für das Wurzelziehen ist das Wurzelzeichen: $\sqrt{\textcolor{white}{...}}$

$Potenzieren~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Radizieren$

$\textcolor{red}{8}^\textcolor{blue}{2} = \textcolor{green}{64}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{\textcolor{green}{64}} = \textcolor{red}{8}$

gesprochen: Die zweite Wurzel aus vierundsechzig ist acht.

Merke

Eine Wurzel ist gegeben durch:

$\textcolor{red}{a}^\textcolor{blue}{n} = \textcolor{green}{x} \Leftrightarrow \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{red}{a}$

Dabei bezeichnet man $\textcolor{green}{x}$ als den Radikanden und $\textcolor{blue}{n}$ als den Wurzelexponenten.

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Quadratwurzel

Wurzeln, deren Wurzelexponent $2$ ist, bezeichnet man auch als Quadratwurzeln. In der Regel lässt man den Wurzelexponenten $2$ jedoch weg, weil die Quadratwurzel, die am häufigsten vorkommende Wurzel ist. Alle Wurzelexponenten, die größer als $2$ sind, müssen immer dazugeschrieben werden.

Beispiel

$\sqrt[2]{49} = 7  \Leftrightarrow   \sqrt{49} = 7$

$\sqrt[2]{9} = 3  \Leftrightarrow   \sqrt{9} = 3$

$\sqrt[2]{16} = 4  \Leftrightarrow   \sqrt{16} = 4$

Die Quadratwurzel aus einer Zahl ist also diejenige Zahl, die zum Quadrat genommen die Zahl unter der Wurzel ergibt. Eine allgemeine Form der Quadratwurzel würde also so aussehen:

Wenn $x \cdot x = y$, dann gilt: $\sqrt{y} = x$

Da das Ziehen der Quadratwurzel in vielen Fällen krumme Zahlen ergibt, berechnest du sie meistens mit Hilfe des Taschenrechners. In diesen Fällen musst du die Zahlen runden:

  • $\sqrt{2} \approx 1,4142$
  • $\sqrt{10} \approx 3,1623$

Merke

Die Quadratwurzel ist beschrieben durch:

$\textcolor{red}{x}^\textcolor{blue}{2} = \textcolor{green}{y} \Leftrightarrow \sqrt{\textcolor{green}{y}} = \textcolor{red}{x}$

Die Quadratwurzel lässt sich auch aus Brüchen ziehen, indem die Wurzel einzeln von Zähler und Nenner gezogen wird.

  • $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$
  • $\sqrt{\frac{16}{4}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2$

Aufgrund des Zusammenhangs von Quadratwurzel und dem Quadrieren (mit Zwei hoch nehmen), kannst du keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

$x^2 = y \sqrt{y} = x$

$x^2$ kann nie eine negative Zahl ergeben:

$(-2)^2 = 4$

$2^2 = 4$

Gut zu wissen

Es ist mathematisch nicht möglich Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen!

Kubikwurzel

Die Kubikwurzel unterscheidet sich von der Quadratwurzel durch den Wurzelexponenten.

$Potenzieren~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Radizieren$

$\textcolor{red}{3}^\textcolor{blue}{3} = \textcolor{green}{27}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{green}{27}} = \textcolor{red}{3}$

Anstatt die Zahl hoch zwei zu nehmen, fragt die Kubikwurzel nach Zahlen, die hoch drei genommen wurden. Ein weiterer Unterschied zur Quadratwurzel ist, dass du die $\textcolor{blue}{3}$ immer mit an die Wurzel schreiben musst und nicht einfach weglassen darfst.

Beispiel

$4^3 = 64 \rightarrow \sqrt[3]{64} = 4$

$9^3 = 729 \rightarrow \sqrt[3]{729} = 9$

$1^3 = 1 \rightarrow \sqrt[3]{1} = 1$

Merke

Die Kubikwurzel ist beschrieben durch:

$\textcolor{red}{a}^\textcolor{blue}{3} = \textcolor{green}{x} \Leftrightarrow \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{red}{a}$

Im Gegensatz zur Quadratwurzel lässt sich die Kubikwurzel auch aus negativen Zahlen ziehen:

$(-3)^3 = - 27$

$\sqrt[3]{-27} = -3$

Wurzeln als Potenzen schreiben

Wurzeln und Potenzen hängen sehr stark zusammen. Zum einen drückt eine Wurzel praktisch eine umgekehrte Potenz aus. Zum anderen lassen sich Wurzeln auch als Potenzen schreiben:

$\sqrt[3]{64} = 64^{\frac{1}{3}}= 4$

$\sqrt[2]{81} = 81^{\frac{1}{2}}= 9$

Merke

Wurzeln lassen sich als Potenzen schreiben, indem man den Radikanden als Basis und den Kehrwert des Wurzelexponenten als Exponenten nimmt:

$\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{green}{x}^{\frac{1}{\textcolor{blue}{n}}}$

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b) $\sqrt[3]{8} =$
c) $\sqrt[3]{125} =$
d) $\sqrt[3]{216} =$

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Rechne die folgenden Wurzeln aus und markiere die richtige Lösung: a) $\sqrt{49} =$
b) $\sqrt{16} =$
c) $\sqrt{144} =$
d) $\sqrt{36} =$

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