Leere Menge, Teilmenge, Schnittmenge und Vereinigungsmenge
In diesem Text behandeln wir die verschiedenen Arten und Beziehungen der Mengen zueinander. Beispiele hierfür sind etwa die Schnittmenge, leere Menge oder Vereinigungsmenge.
Damit du dieses Kapitel komplett verstehst, solltest du dich schon mit dem Kapitel Mengen und Elemente auseinandergesetzt haben.
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen
Wir haben gelernt, wie die einzelnen Objekte in einer Menge heißen und dass eine gewisse Anzahl von ihnen eine Menge ausmachen. Ein Beispiel war die Menge der natürlichen Zahlen, geschrieben: $M = \{1,2,3,..., \infty \}$. Es gibt aber auch Mengen, die kleiner als die Menge der natürlichen Zahlen ist und sogar eine Menge, die gar keine Elemente beinhaltet.
Die leere Menge
Eine Menge, die kein einziges Element enthält, nennt man leere Menge. Da diese Menge keine Elemente enthält, hat sie die Mächtigkeit $0$. Man schreibt für die leere Menge zwei geschweifte Klammern ohne Inhalt.
Diese Mengen sind unter anderem bei Funktionen ohne Lösungen zu finden, wo das $x$ also nicht aufgelöst werden kann.
Merke
Merke
Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Ihre Mächtigkeit ist $0$.
$M = \{\}$.
Teilmenge/Obermenge
Die Teilmenge ist eine weitere Art der Mengen in der Mathematik. Sie bezeichnet den Zustand, wenn eine Menge komplett in einer anderen Menge liegt und somit eine Teilmenge der größeren Menge ist. Hier ein Beispiel:
Gegeben ist die Menge $M = \{1,2,3,4,5\}$
Diese Menge $M$ ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Geschrieben wird es:
$M \subseteq ℕ$. Die natürlichen Zahlen werden hierbei Obermenge genannt.
Merke
Merke
Eine Menge heißt Teilmenge, wenn sie komplett Teil einer anderen Menge ist. Die größere Menge der beiden wird hierbei Obermenge genannt.
$A \subseteq B$
Schnittmenge
Die Schnittmenge oder auch Durchschnittsmenge bezeichnet die Menge von Elementen, die gleichzeitig in zwei Mengen enthalten sind, ohne dass die Mengen Teilmengen sind. Zeigen wir das Ganze an einem Beispiel:
Es sind die Mengen $M$ und $N$ gegeben. Die Menge $M$ enthält die Zahlen $\{1,2,\textcolor{green}{3,4,5}\}$, die Menge $N$ die Zahlen $\{\textcolor{green}{3,4,5},6,7\}$. Somit sind die Zahlen $\{\textcolor{green}{3,4,5}\}$ die Schnittmenge der beiden Mengen. Man schreibt:
$A \; \bigcap B$
Merke
Merke
Die Schnittmenge ist die Menge der Zahlen, die sich in zwei verschiedenen Mengen befinden. Hierbei sind beide Mengen nicht identisch oder Teilmengen zueinander. Man schreibt:
$A \; \bigcap B$
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination beider Mengen zu einer großen Menge. Hierbei kann es auch vorkommen, dass einzelne Elemente in beiden Mengen vorhanden sind. Diese werden jedoch immer nur einmal gezählt. In einer Formel schreibt man dann:
$A \cup B$
Merke
Merke
Die Vereinigungsmenge ist die Summe von zwei Mengen. Doppelte Elemente werden einzeln gezählt.
$A \cup B$
Gleichheit von Mengen
Unter der Gleichheit von Mengen versteht man den Zustand, wenn zwei Mengen vorhanden sind, die exakt dieselben Elemente beinhalten. Man schreibt $A = B$.
Differenz und Komplement
Zuletzt betrachten wir die Differenz bzw. das Komplement zweier Mengen. Der Name Differenz gibt auch hier wieder einen Tipp, wie die Lösung aussehen muss, denn die Differenz ist die Menge A, in der keine Elemente aus Menge B enthalten sind. Man sagt dann $A ohne B$. Folgend ein Beispiel:
Gegeben sind die Mengen $A = \{1,2,3,4,5 \}$ und $B = \{4,5,6,7,8\}$.
Die Differenz der beiden Mengen ist:
$A \backslash B = \{1,2,3\}$, denn die Elemente $4$ und $5$ sind Teil der Menge $B$ und fallen somit weg.
Merke
Merke
Die Gleichheit von Mengen besagt, dass zwei Mengen mit denselben Elementen, eine Menge ist. Man schreibt:
$A = B$
Die Differenz bzw. das Komplement zweier Mengen ist die Differenz beider Mengen. Doppelte Elemente fallen hierbei weg. Man schreibt:
$A \backslash B$
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
Teste dein Wissen!
Was ist die Vereinigungsmenge?
Bilde das Komplement der Mengen:
$A =\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$ und $B = \{10,11,12,13,14,15\}$
Was versteht man in der Mathematik unter einer Obermenge und einer Teilmenge?
Markiere die richtigen Antworten.
Was ist der Unterschied zwischen einer leeren Menge und einer Schnittmenge?
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema































Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
(kostenlos und jederzeit)