Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Leere Menge, Teilmenge, Schnittmenge und Vereinigungsmenge

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text behandeln wir die verschiedenen Arten und Beziehungen der Mengen zueinander. Beispiele hierfür sind etwa die Schnittmenge, leere Menge oder Vereinigungsmenge.

Damit du dieses Kapitel komplett verstehst, solltest du dich schon mit dem Kapitel Mengen und Elemente auseinandergesetzt haben.

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Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Wir haben gelernt, wie die einzelnen Objekte in einer Menge heißen und dass eine gewisse Anzahl von ihnen eine Menge ausmachen. Ein Beispiel war die Menge der natürlichen Zahlen, geschrieben: $M = \{1,2,3,..., \infty \}$. Es gibt aber auch Mengen, die kleiner als die Menge der natürlichen Zahlen ist und sogar eine Menge, die gar keine Elemente beinhaltet.

Die leere Menge

Eine Menge, die kein einziges Element enthält, nennt man leere Menge. Da diese Menge keine Elemente enthält, hat sie die Mächtigkeit $0$. Man schreibt für die leere Menge zwei geschweifte Klammern ohne Inhalt.

Diese Mengen sind unter anderem bei Funktionen ohne Lösungen zu finden, wo das $x$ also nicht aufgelöst werden kann.

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Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Ihre Mächtigkeit ist $0$.

$M = \{\}$.

Teilmenge/Obermenge

Die Teilmenge ist eine weitere Art der Mengen in der Mathematik. Sie bezeichnet den Zustand, wenn eine Menge komplett in einer anderen Menge liegt und somit eine Teilmenge der größeren Menge ist. Hier ein Beispiel:

Gegeben ist die Menge $M = \{1,2,3,4,5\}$

Diese Menge $M$ ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Geschrieben wird es:

$M \subseteq ℕ$. Die natürlichen Zahlen werden hierbei Obermenge genannt.

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Eine Menge heißt Teilmenge, wenn sie komplett Teil einer anderen Menge ist. Die größere Menge der beiden wird hierbei Obermenge genannt.

$A \subseteq B$

Schnittmenge

Die Schnittmenge oder auch Durchschnittsmenge bezeichnet die Menge von Elementen, die gleichzeitig in zwei Mengen enthalten sind, ohne dass die Mengen Teilmengen sind. Zeigen wir das Ganze an einem Beispiel:

Es sind die Mengen $M$ und $N$ gegeben. Die Menge $M$ enthält die Zahlen $\{1,2,\textcolor{green}{3,4,5}\}$, die Menge $N$ die Zahlen $\{\textcolor{green}{3,4,5},6,7\}$. Somit sind die Zahlen $\{\textcolor{green}{3,4,5}\}$ die Schnittmenge der beiden Mengen. Man schreibt:

$A \; \bigcap B$

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Die Schnittmenge ist die Menge der Zahlen, die sich in zwei verschiedenen Mengen befinden. Hierbei sind beide Mengen nicht identisch oder Teilmengen zueinander. Man schreibt:

$A \; \bigcap B$

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination beider Mengen zu einer großen Menge. Hierbei kann es auch vorkommen, dass einzelne Elemente in beiden Mengen vorhanden sind. Diese werden jedoch immer nur einmal gezählt. In einer Formel schreibt man dann:

$A \cup B$

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Die Vereinigungsmenge ist die Summe von zwei Mengen. Doppelte Elemente werden einzeln gezählt.

$A \cup B$

Gleichheit von Mengen

Unter der Gleichheit von Mengen versteht man den Zustand, wenn zwei Mengen vorhanden sind, die exakt dieselben Elemente beinhalten. Man schreibt $A = B$.

Differenz und Komplement

Zuletzt betrachten wir die Differenz bzw. das Komplement zweier Mengen. Der Name Differenz gibt auch hier wieder einen Tipp, wie die Lösung aussehen muss, denn die Differenz ist die Menge A, in der keine Elemente aus Menge B enthalten sind. Man sagt dann $A  ohne  B$. Folgend ein Beispiel:

Gegeben sind die Mengen $A = \{1,2,3,4,5 \}$ und $B = \{4,5,6,7,8\}$.

Die Differenz der beiden Mengen ist:

$A \backslash B = \{1,2,3\}$, denn die Elemente $4$ und $5$ sind Teil der Menge $B$ und fallen somit weg.

Merke

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Die Gleichheit von Mengen besagt, dass zwei Mengen mit denselben Elementen, eine Menge ist. Man schreibt:

$A = B$

Die Differenz bzw. das Komplement zweier Mengen ist die Differenz beider Mengen. Doppelte Elemente fallen hierbei weg. Man schreibt:

$A \backslash B$

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Bilde das Komplement der Mengen:
$A =\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$ und $B = \{10,11,12,13,14,15\}$

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