Potenzen multiplizieren, dividieren, potenzieren - gleiche Basis
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Frage, wie man Potenzen, deren Basis gleich ist, multiplizieren und dividieren kann. Außerdem betrachten wir noch einen speziellen Fall, bei dem die Potenz selbst potenziert wird.
Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Merke
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
$ a^3 \cdot a^5 = a^{3+5} = a^8 $
Beispiel
(1) $ 12^5 \cdot 12^{-4} = 12^{5+(-4)} = 12^1 = 12$
(2) $ 9^{-7} \cdot 9^{-3} = 9^{(-7)+(-3)} = 9^{-10}$
(3) $ 8^3 \cdot 8^5= 8^{3 + 5} = 8^8 $
Herleitung anhand eines Beispiels
Schauen wir uns also Potenzen an, deren Basis gleich ist.
Beispiel
$ 2^3 \cdot 2^5$
Wie würdet ihr zwei Potenzen gleicher Basis multiplizieren ohne spezielle Regeln? Natürlich könnte man die Potenzen ausschreiben und dann multiplizieren:
$ 2^3 \cdot 2^5 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 256 $
Methode
Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!
Die einzelnen Multiplikationen lassen sich zusammenfügen. Warum darf man das? Erinnerst du dich vielleicht noch an das Assoziativgesetz für Multiplikationen?
Bei einem Zwischenschritt kommst du also auf diese sehr lange Multiplikation. Seit eben kennst du aber eine neue, viel übersichtlichere Schreibweise für solch lange Rechnungen: die Potenz.
Schauen wir uns einmal an, was passiert, wenn wir den langen Term in eine Potenz umwandeln:
$ 2^3 \cdot 2^5 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^8 = 256 $
Schreiben wir die Rechnung nur in Potenzen erhalten wir:
$ 2^3 \cdot 2^5 = 2^8$
Was fällt dir auf, wenn du die einzelnen Exponenten vergleichst? Was haben die $5$ und die $3$ mit der $8$ zu tun?
$ 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 $
Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten und behältst die Basis bei.
Merke
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
$ a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
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Potenzen mit gleicher Basis dividieren
Merke
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
$\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$
Beispiel
(1) $\frac{9^{11}}{9^5} = 9^{11-5} = 9^6$
(2) $\frac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2$
(3) $\frac{7^4}{7^8} = 7^{4-8} = 7^{-4}$
(4) $\frac{a^{3\cdot m + 1}}{a^{m - 2}} = a^{(3\cdot m + 1) - (m - 2)} = a^{2\cdot m + 3}$
Herleitung anhand eines Beispiels
Schauen wir uns nun an, wie Potenzen gleicher Basis dividiert werden.
Beispiel
$\frac{2^6}{2^3}$
Die Vorgehensweise ist dabei dieselbe wie bei der Multiplikation: Wir schreiben die Potenz zunächst aus.
$\frac{2^6}{2^3} = \frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2}$
An dieser Stelle musst du schon wieder auf dein Vorwissen zurückgreifen. Du hast bestimmt schon einmal gelernt, wie man Zähler und Nenner in einem Bruch gegenseitig kürzen kann. Im Zähler steht insgesamt sechsmal die 2, im Nenner nur dreimal. Kürzen wir diese gegeneinander weg, erhalten wir folgendes:
$\frac{2^6}{2^3} = \frac{ \not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot 2\cdot 2\cdot 2}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Auch in diesem Fall können wir das Produkt in eine Potenz umwandeln und erhalten folgendes Ergebnis:
$\frac{2^6}{2^3} = 2^3 $
Wieder lohnt sich ein Blick auf die Exponenten: $\frac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$
Im Gegensatz zur Multiplikation werden die Exponenten bei der Division subtrahiert.
Merke
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Potenzieren von Potenzen
Merke
Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
${(a^3)^2} = 2^{3\cdot 2} = a^6$
Beispiel
(1) ${(8^4)^5} = 8^{4\cdot 5} = 8^{20}$
(2) ${(12^3)^{(-2)}} = 12^{3\cdot (-2)} = 12^{-6}$
(3) ${(3^x)^2} = 3^{x\cdot 2} = 3^{2x}$
Herleitung anhand eines Beispiels
Beispiel
${(2^3)^2}$
Auch diese potenzierte Potenz können wir ausschreiben:
${(2^3)^2} = 2^3\cdot 2^3 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot2 = 2^6 $
Was jetzt kommt, ist für dich ja schon ein alter Hut: wir vergleichen die Exponenten.
$2^{3^2} = 2^6 = 2^{3\cdot 2}$
Auch hier lässt sich ein simpler Zusammenhang herleiten: Potenzen lassen sich potenzieren, indem man ihre Exponenten multipliziert.
Merke
Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
${(a^m)^n} = a^{m\cdot n}$
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