Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Polynomdivision - so funktioniert's

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Kapitel befassen wir uns mit der Polynomdivision. Sie bietet unter anderem die Möglichkeit Nullstellen zu berechnen, wenn man es mit der pq-Formel schon nicht mehr kann. Dies ist unter anderem der Fall, wenn die Exponenten zu groß werden, und dabei sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auftreten, etwa $x^5$ und $x^4$ in einer Funktion.

Polynomdivision Begriffsklärung

Der Begriff Polynomdivision ist die Zusammensetzung aus den beiden Begriffen Polynom und Division. Den Begriff Division kennen wir schon seit der Grundschule. Die Division ist eine Grundrechenmethode. Der Begriff Polynom begegnet uns, zumindest thematisch, in der siebten Klasse. Dort wird der Begriff Term eingeführt, welcher der Grundbaustein für ein Polynom ist. Der Unterschied zum Term ist nur, dass bei einem Polynom auch höherzahlige Exponenten auftauchen können, also etwa $x^3$ oder $x^4$.

Bei der Polynomdivision dividieren wir nicht nur "gewöhnliche" Zahlen miteinander, sondern ganze Polynome. Dies sieht schwieriger aus, ist prinzipiell aber eine einfache Division. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

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Polynomdivision Beispielaufgabe

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Löse folgende Aufgabe mithilfe der Polynomdivision:
$(2\cdot x^3+8\cdot x^2+x+4):(x+4)$

Wie bei der schriftlichen Division schauen wir, wie oft der Divisor, also $x+4$, in den größten Dividenden, hier $2 \cdot x^3$, passt. 

Der Divisor $(x+4)$ muss mit $2x^2$ multipliziert werden, um $2 \cdot x^3$ zu erhalten, denn

$(x+4) \cdot 2x^2 = 2x^3+8x^2$. In der Polynomdivision sieht es dann wie folgt aus:

 $(2\cdot x^3+8\cdot x^2+x+4):(x+4)=\;2x^2$

 $\;2\cdot x^3+8\cdot x^2$

Wir multiplizieren also $(x+4)$ mit $2x^2$ und erhalten die untere Zeile. Diese Zahlen subtrahieren wir vom Divisor und es bleibt nur noch:

$x+4$

Genauso wie vorhin schauen wir, mit was der Dividend multipliziert werden muss, damit sich der größte Wert des Dividenden auflöst. Wir erkennen, dass der Divisor mit $1$ multipliziert werden muss.

 $\;\;(2\cdot x^3+8\cdot x^2+x+4):(x+4)=\;2x^2+1$

 $- (2\cdot x^3+8\cdot x^2)$

———————————————

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x + 4$

$-\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x + 4)$

———————————————

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{0}$

Bei dieser Polynomdivision entsteht also kein Rest und wir erhalten eine einfache Lösung. Für mehr Informationen dazu schaue dir die Polynomdivision mit Rest an.

Wie bei jeder Division ist die Multiplikation der Lösung mit dem Divisor, falls man sich nicht verrechnet hat, der Dividend:

$(x+4) \cdot (2x^2+1)=2x^3+8x^2+x+4$

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Viel Erfolg dabei!

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Wie lautet die Lösung folgender Polynomdivision?
$(9x^2+18x+5):(3x+1)$

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Wie lautet die Lösung folgender Polynomdivision?
$(3x^2 + 4x + 1):(x+1)$

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Mit welchem der Terme kann die Polynomdivision der folgenden Funktion ohne Rest erfolgen?
$x^2+7x+6$

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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