Wurzeln potenzieren und radizieren
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem Potenzieren und Radizieren von Wurzeln. Neben den bekannten mathematischen Operationen, wie der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation oder der Division, können Wurzeln auch potenziert oder nochmals radiziert werden.
Potenzieren von Wurzeln
Zunächst einmal müssen wir klären, wie eine potenzierte Wurzel überhaupt aussieht.
$(\sqrt[2]{2})^ \textcolor{red}{4}$
Potenzierte Wurzeln besitzen also neben dem Wurzelexponenten ($2$) einen weiteren Exponenten ($\textcolor{red}{4}$).
Wie verrechnen wir den zusätzlichen Exponenten?
$(\sqrt[2]{2})^ \textcolor{red}{4} = \sqrt[2]{2^ \textcolor{red}{4}}$
Wie du siehst, wird der Exponent einfach unter die Wurzel gezogen. Du erhältst unterhalb der Wurzel eine Potenz, die du ausrechnen kannst.
$\sqrt[2]{2^ \textcolor{red}{4}} = \sqrt[2]{16} = 4$
Merke
Eine Wurzel wird mit einem Exponenten potenziert, indem man den Radikanden mit dem Exponenten potenziert.
$(\sqrt[m]{x})^\textcolor{red}{n} = \sqrt[m]{x^\textcolor{red}{n}}$
Da das Wurzelziehen in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens ist, heben sich Wurzelexponent und Exponent auf, wenn sie den gleichen Wert besitzen. In diesem Fall ist die Zahl unterhalb der Wurzel, also der Radikand, das Ergebnis.
$(\sqrt[2]{2})^ \textcolor{red}{2} = \sqrt[2]{2^ \textcolor{red}{2}} = 2$
Beispiel
$(\sqrt[3]{2})^6 = \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{64} = 4$
$(\sqrt[2]{10})^6 = \sqrt[2]{10^6} = \sqrt[2]{1000000} = 1000$
$(\sqrt[3]{8})^3 = \sqrt[3]{8^3} = 8$
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Potenzierte Wurzeln mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen
Methode
Folgende Gesetzmäßigkeiten können dir beim Lösen potenzierter Wurzeln helfen:
1.) Potenzschreibweise von Wurzeln: $\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{green}{x}} = \textcolor{green}{x}^{\frac{1}{\textcolor{blue}{n}}}$
2.) Potenzierte Potenzen: $\textcolor{black}{a^{m^n} = a^{m\cdot n}}$
Beispiel
$(\sqrt[3]{2})^6 = (2^{\frac{1}{3}})^6 = 2^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 2^2 = 4$
$(\sqrt[2]{10})^6 = (10^{\frac{1}{2}})^6 = 10^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 10^3 = 1000$
$(\sqrt[3]{8})^3 = (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 8^1 = 8$
$(\sqrt[2]{3})^4 = (3^{\frac{1}{2}})^4 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 3^2 = 9$
Radizieren von Wurzeln
Wurzeln können auch radiziert werden, was auf den ersten Blick ungewöhnlich wirkt. Wenn man die Wurzel aus einer Wurzel zieht, schreibt man das so:
$\sqrt[\textcolor{red}{3}]{\sqrt[\textcolor{red}{2}]{729}}$
Eine wichtige Rolle beim Zusammenfassen dieser Doppelwurzeln spielen die beiden Wurzelexponenten ($\textcolor{red}{3}; \textcolor{red}{2}$).
$\sqrt[\textcolor{red}{3}]{\sqrt[\textcolor{red}{2}]{729}} = \sqrt[\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{2}]{729} = \sqrt[\textcolor{red}{6}]{729} = 3$
Merke
Wurzeln werden radiziert, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird.
$\sqrt[\textcolor{red}{m}]{\sqrt[\textcolor{red}{n}]{x}} = \sqrt[\textcolor{red}{m} \cdot \textcolor{red}{n}]{x}$
Beispiel
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{1000}} = \sqrt[3 \cdot 3]{1000} = \sqrt[9]{1000}$
$\sqrt[3]{\sqrt{25}} = \sqrt[3 \cdot 2]{25} = \sqrt[6]{25}$
$\sqrt{\sqrt{256}} = \sqrt[2 \cdot 2]{256} = \sqrt[4]{256}$
Anwendung von radizierten Wurzeln
Das Radizieren von Wurzeln wird oft genutzt, um Wurzelterme teilweise auszurechnen oder zu vereinfachen. Dabei wendest du die oben genannte Regel rückwärts an:
$\sqrt[8]{16} = \sqrt[2 \cdot 4]{16} = \sqrt[2]{\sqrt[4]{16}} = \sqrt[2]{2}$
Dazu musst du nur den Wurzelexponenten als ein Produkt aus zwei geeigneten Zahlen schreiben und aus der Wurzel eine Doppelwurzel machen. Das macht natürlich nur dann Sinn, wenn du die innere Wurzel ausrechnen kannst.
Beispiel
$\sqrt[6]{81} = \sqrt[3 \cdot 2]{81} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{81}} = \sqrt[3]{9}$
$\sqrt[9]{125} = \sqrt[3 \cdot 3]{125} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{125}} = \sqrt[3]{5}$
Das Gesetz besagt außerdem, dass du die Wurzelexponenten bei Doppelwurzeln beliebig drehen kannst. Auch das kannst du dir zunutze machen, um Wurzeln zu vereinfachen:
$\sqrt[2]{\sqrt[3]{9}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{9}} = \sqrt[3]{3}$
Beispiel
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{27}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[5]{3}$
$\sqrt[2]{\sqrt[5]{36}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{36}} = \sqrt[5]{6}$
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