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Zahlenstrahl, Zahlengerade, Betragsfunktion einfach erklärt

Zahlenstrahl, Zahlengerade & Betragsfunktion einfach erklärt! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Menge an Zahlen oder einzelne Zahlen darzustellen. Hierzu zählen Zahlenstrahlen, Zahlengerade und auch Beträge von Zahlen. In diesem Text wollen wir die einzelnen Schreibweisen genauer erklären.

Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl ist eine der gängigsten Darstellungsformen von Zahlen. Schon in der Grundschule lernt man den Zahlenstrahl kennen und nutzt ihn für kleine Zahlen bis $10$, später bis $100$. Du kannst auch sehr gut Brüche damit kenntlich machen oder auch Verhältnisse aufzeigen. Die folgende Abbildung zeigt einen Zahlenstrahl, bei dem von $50$ Schülern in einer Klasse, genau $20$ Jungen und $30$ Mädchen sind. Also die beiden Brüche $\Large{\frac{20}{50}}$ und $\Large{\frac{30}{50}}$.

Zahlenstrahl
Zahlenstrahl mit $20 \; Jungen$ und $30 \; Mädchen$

Bei der Abbildung haben wir zwei verschiedene Darstellungsmethoden verwendet. Die erste ist der Pfeil oder auch die Strecke. Diese hat die Funktion, die Anzahl zu verdeutlichen. Die zweite Variante ist ein Rechteck. Dieses veranschaulicht in unserem Beispiel das jeweilige Geschlecht. Bei der Wahl der Darstellung sind dir kaum Grenzen gesetzt, solange du erkennbar machst, welche Bedeutung dahintersteckt. Hier haben wir sowohl farblich markiert, welcher Strahl für Jungen und welcher für Mädchen steht, also auch in die Rechtecke geschrieben, worum es sich handelt.

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Zahlengerade

Die Zahlengerade unterschiedet sich nur wenig vom Zahlenstrahl. So hat der Zahlenstrahl einen Anfangspunkt, die $0$. Die Zahlengerade ist, wie der Name schon andeuten lässt, eine unendlich lange Gerade, die keinen Startpunkt hat, also die negativen Zahlen beinhaltet.

Beträge und Betragsfunktionen

Beträge sind eine weitere Art, wie Zahlen oder Terme in der Mathematik dargestellt werden können. Beträge zeichnen sich durch die zwei senkrechten Striche vor und hinter der Zahl oder der Gleichung aus. Beispiele hierfür sind:

$|2| \;,\; |-8|\;, \; |x+3|\;$

Das Besondere an Beträgen ist, dass die Zahl immer eine reelle nicht negative Zahl ist. Wenn du einen Betrag auflösen möchtest, dann entsteht immer eine positive Zahl. Wir schauen uns das mal an einem Beispiel an:

Beispiel

Löse die Gleichung:

$|x+2|=6$

Die Lösung unter dem Betrag muss also entweder $6$ oder $-6$ sein, denn der Betrag der Zahl lässt sie automatisch positiv werden. Eine Gleichung, bei der das Ergebnis negativ ist, ist daher nicht lösbar, wie zum Beispiel die folgende Gleichung:

$\textcolor{red}{|x+2|=-6}$

Um die erste Gleichung zu lösen, gehen wir die beiden möglichen Wege:

$x+2=6$ und $x+2=-6$

Wenn die Zahl unter dem Betrag also $6$ wird, dann ist die Lösung $6$. Ausgerechnet wäre $x$ also $4$. Wenn die Zahl unter dem Betrag $-6$ werden soll, muss $x$ unter dem Betrag $-8$ sein. Geschrieben wird es dann wie folgt:

$|x| := \begin{cases} \;\;\;4, & \text {für x} \ge \;{0}\\ -6, & \text{für x} < \;{0}\\ \end{cases} $

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Markiere die Unterschiede zwischen einem Zahlenstrahl und einer Zahlengerade.

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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Löse die Betragsgleichung:
$|x-1|=4$

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Löse die Betragsgleichung:
$|2x - 4|=24$

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Löse die Betragsgleichung:
$|x-5|=0$

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