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Wurzelgleichungen lösen - Beispiele und Übungen

Gleichungen, bei denen die unbekannte Variable $x$ unterhalb einer Wurzel steht, nennt man Wurzelgleichungen. Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir Wurzelgleichungen lösen können.

Lösen einer Wurzelgleichung

Um Wurzelgleichungen zu lösen, musst du eine Gleichung quadrieren können. Dies bedeutet, dass du beide Seiten der Gleichung hoch zwei nehmen musst. In den meisten Fällen führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die wir mithilfe der p-q-Formel lösen können. Schauen wir uns dazu einige Beispiele an:

$\sqrt[]{x+5} = x+1~~~~~|quadrieren$

$x + 5 = (x + 1)^2$

Methode

Methode

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Die Klammer lösen wir mithilfe der ersten Binomischen Formel auf: $(a+b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2$

$x + 5 = x^2 + 2\cdot x + 1~~~~~|-x$

$5 = x^2 + x + 1~~~~~|- 5$

$0 = x^2 + x - 4$

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p-q Formel:

Für eine Gleichung der Form $x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$ gilt:

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$

$0 = x^2  \textcolor{red}{+1} \cdot x \textcolor{orange}{-4}~~~~~|p-q-Formel$

$x_{1|2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt[]{(\frac{1}{2})^2 + 4}$

$x_{1|2} = - 0,5 \pm \sqrt[]{4,25}$

$x_1 \approx 1,56$

$x_2 \approx -2,56$

Wir sind allerdings noch nicht fertig. Die p-q-Formel ergibt zwei Ergebnisse, von denen oft nur eines die Lösung der Wurzelgleichung ist. Du musst also auf jeden Fall eine Probe durchführen!

Setzen wir $1,56$ in die Ausgangsgleichung ein, erhalten wir eine wahre Aussage ($2,56 = 2,56$). Setzen wir jedoch $-2,56$ ein, erhalten wir eine unwahre Aussage ($1,56 = -1,56$). Die Lösung der Wurzelgleichung ist also nur $1,56$.

Schau dir noch ein weiteres Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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$\sqrt[]{6\cdot x + 6} = 3 - 2\cdot x~~~~~|quadrieren$

$6 \cdot x + 6 = (3 - 2\cdot x)^2$

$6 \cdot x + 6 = 3^2 - 2\cdot  3 \cdot 2 \cdot x + (2\cdot x)^2$

$6 \cdot x + 6 = 4\cdot x^2 - 12\cdot x + 9~~~~~|- 6$

$6 \cdot x = 4 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 3~~~~~|- 6\cdot x$

$0 = 4\cdot x^2 - 18 \cdot x + 3~~~~~|:4$

$0 = x^2 - 4,5 \cdot x + 0,75 ~~~~~|p-q-Formel$

$x_{1|2} = -\frac{-4,5}{2} \pm \sqrt[]{(\frac{-4,5}{2})^2 - 0,75}$

$x_{1|2} = 2,25 \pm \sqrt[]{4,3125}$

$x_1 \approx 4,33$

$x_2 \approx 0,17$

Die Probe ergibt, dass nur $0,17$ die Lösung für die Wurzelgleichung ist.

Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln

In Wurzelgleichungen, die aus zwei Wurzeln bestehen, taucht die Unbekannte $x$ gleich zweimal auf. Das Lösen solcher Gleichungen ist ein wenig aufwändiger. Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:

$\sqrt[]{x+7} - \sqrt[]{x+2} - 1 = 0$

Im ersten Schritt bringen wir die Wurzeln auf unterschiedliche Seiten der Gleichung.

$\sqrt[]{x+7} - \sqrt[]{x+2} - 1 = 0~~~~~|+ \sqrt[]{x+2}$

$\sqrt[]{x+7} - 1 = \sqrt[]{x+2}$

Nun können wir beide Seiten der Gleichung quadrieren. Dabei müssen wir darauf achten, die Seiten wirklich in Gänze zu quadrieren.

$\sqrt[]{x+7} - 1 = \sqrt[]{x+2}~~~~~|quadrieren$

$(\sqrt[]{x+7} - 1)^2 = (\sqrt[]{x+2})^2$

Die linke Seite können wir nun mithilfe der 2. Binomischen Formel weiter auflösen.

$(\sqrt[]{x+7})^2 - 2\cdot \sqrt[]{x+7} + 1 =x + 2$

$x + 7 - 2\cdot \sqrt[]{x+7} + 1 = x + 2$

$x - 2 \cdot \sqrt[]{x + 7} + 8 = x + 2~~~~~|-x$

$-2 \cdot \sqrt[]{x+7} + 8 = 2~~~~~|-8$

$- 2 \cdot \sqrt[]{x+7} = - 6~~~~~|: (-2)$

$\sqrt[]{x+7} = 3$

Nach einigen Umformungen erhalten wir eine normale Wurzelgleichung mit einer Wurzel und einer Unbekannten. Diese Gleichung lässt sich nun wieder durch Quadrieren lösen.

$\sqrt[]{x+7} = 3~~~~~| quadrieren$

$(\sqrt[]{x+7})^2 = 3^2$

$x + 7 = 9~~~~~|-7$

$x = 2$

Wir erhalten in diesem Fall nur eine Lösung. Du musst dennoch die Probe machen. Wenn du $x = 2$ in die Ausgangsgleichung ($\sqrt[]{x+7} - \sqrt[]{x+2} - 1 = 0$) einsetzt, erhältst du eine wahre Aussage ($0=0$). $x = 2$ ist also die Lösung für die Gleichung.

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