Beim Rechnen mit Logarithmen musst du bestimmte Rechenregeln beachten, die sogenannten "Logarithmusgesetze", je nachdem ob du in einem Logarithmus
multiplizierst, dividierst, potenzierst oder die
Wurzel ziehst.
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Übersicht der Logarithmusgesetze
Merke
$(1)$ Erstes Logarithmusgesetz: Der Logarithmus eines Produkts entspricht der Summe der Logarithmen der beiden Faktoren.
$\textcolor{black}{\log_{a}(x\cdot y) = \log_{a}(x) + \log_{a}(y)}$
$(2)$ Zweites Logarithmusgesetz: Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\textcolor{black}{\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)}$
$(3)$ Drittes Logarithmusgesetz: Der Logarithmus einer Potenz entspricht dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis.
$\textcolor{black}{\log_{a}(x^y) = y\cdot \log_{a}(x)}$
$(4)$ Viertes Logarithmusgesetz: Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\textcolor{black}{\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)}$
Hier kannst du dir eine Übersichtsseite zu den vier Logarithmusgesetzen herunterladen.
Beispiele der Logarithmusgesetze
Erstes Logarithmusgesetz:
log 7 (3 · 8) = log 7 (3) + log 7 (8)
Zweites Logarithmusgesetz:
log4 (4/5) = log 4 (4) - log 4 (5)
Drittes Logarithmusgesetz:
log3 (75) = 5 · log3 (7)
Viertes Logarithmusgesetz:
1/3 · log3 (96) = log3 (3√96)
Du hast nun eine Übersicht darüber bekommen, wie man mit den Logarithmusgesetzen umgeht.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Aufgaben zu Logarithmusgesetzen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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