Logarithmusgleichungen lösen einfach erklärt
Gleichungen, in denen die Unbekannte $x$ in irgendeiner Form in Verbindung mit einem Logarithmus steht, nennt man Logarithmusgleichungen. Beim Lösen solcher Logarithmusgleichungen helfen uns unter anderem die Logarithmusgesetze. Wir unterscheiden im Folgenden vier unterschiedliche Typen von Logarithmusgleichungen. Die Unbekannte $x$ kann nämlich in der Basis, im Logarithmanden und als Exponent im Logarithmus auftauchen. Außerdem beschäftigen wir uns mit Logarithmengleichungen, die aus mehreren Logarithmen bestehen.
Wiederholung: Was ist ein Logarithmus?
Zunächst sollten wir allerdings noch einmal einen Blick darauf werfen, was der Logarithmus eigentlich ist und was er bedeutet.
Der Zusammenhang zwischen Logarithmus und Potenz ist wichtig, da wir erst dann verstehen, was der Logarithmus überhaupt bedeutet. Wenn wir den Logarithmus anwenden, stellen wir uns folgende Frage: Mit was muss man $\textcolor{blue}{a}$ hoch nehmen um $\textcolor{black}{b}$ zu erhalten. Das Ergebnis ist dann der Exponent der Potenz, in diesem Fall ausgedrückt durch das $\textcolor{red}{n}$. $\textcolor{blue}{a}$ bezeichnet man als die $\textcolor{blue}{Basis}$, $\textcolor{black}{b}$ als den $\textcolor{black}{Logarithmanden}$.
Gut zu wissen
Hinweis
Beim Lösen von Logarithmusgleichungen muss man sehr oft Logarithmen in Potenzen umwandeln.
Unbekannte im Logarithmanden
Betrachten wir zuerst den Fall, dass die Unbekannte $x$ im Logarithmanden der Logarithmusgleichung steht.
$\log_{3}(x+1)~=~1$
Im ersten Schritt wandeln wir den Logarithmus in eine Potenz um. Dazu wenden wir die allgemeine Form des Logarithmus auf unsere Gleichung an.
$\log_{\textcolor{blue}{3}}(\textcolor{black}{x+1})~=~\textcolor{red}{1}~~~~~|\log_{\textcolor{blue}{a}}(\textcolor{black}{b}) = \textcolor{red}{n} ~ \leftrightarrow ~ \textcolor{blue}{a}^\textcolor{red}{n} = \textcolor{black}{b} $
$\textcolor{blue}{3}^\textcolor{red}{1}~=~\textcolor{black}{x+1}$
Durch das Umwandeln des Logarithmus erhalten wir eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten, die wir mithilfe der Äquivalenzumformung lösen können.
$3^1~=~x+1~~~~~|-1$
$3 - 1~=~ x$
$x~=~2$
Methode
Methode
Vorgehensweise
1. Logarithmus in eine Potenz umwandeln
2. Lineare Gleichung ausrechnen
Unbekannte in der Basis
Befindet sich die unbekannte Variable in der Basis des Logarithmus, gehen wir zunächst ähnlich vor wie im obigen Fall: Wir wandeln den Logarithmus in eine Potenz um.
$\log_{x}(6)~=~5~~~~~| \log_{a}(b)=n \leftrightarrow a^n=b$
$x^5 =6$
Durch das Umwandeln des Logarithmus erhalten wir:
$x^5 =6~~~~~| \sqrt[5]~$
$x = \sqrt[5]6$
$x \approx 1,43$
Methode
Methode
Vorgehensweise
1. Logarithmus in eine Potenz umwandeln
2. Gleichung ausrechnen, indem man die Wurzel zieht
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Unbekannte als Exponent im Logarithmus
Ist die unbekannte Variable Teil eines Exponenten in einem Logarithmus, haben wir zwei Möglichkeiten die Logarithmusgleichung zu lösen.
$\lg(3^{2 \cdot x +1})=4~~~~~~~~~(lg= \log_{10})$
1. Möglichkeit: Logarithmus in eine Potenz umwandeln
Wir können diese Logarithmusgleichung auf dieselbe Art und Weise lösen, wie die obigen Beispiele. Auch hier wandeln wir den Logarithmus in einem ersten Schritt in eine Potenz um.
$\lg(3^{2 \cdot x +1})=4~~~~~| \log_{a}(b)=n \leftrightarrow a^n=b$
$3^{2 \cdot x + 1} = 10^4$
Wir erhalten eine Exponentialgleichung, die wir lösen können, indem wir die Gleichung wieder logarithmieren. Dieses Mal allerdings mit $\log_{3}$.
$3^{2 \cdot x + 1} = 10^4~~~~~|\log_{3}$
$2 \cdot x + 1= \log_{3}(10^4)~~~~~| -1$
$2 \cdot x = \log_{3}(10^4) - 1~~~~~|:2$
$x = \frac{1}{2} \cdot (\log_{3}(10^4) - 1)$
$x \approx 3,69$
2. Möglichkeit: Lösen mithilfe des dritten Logarithmusgesetzes
Um das Rechnen mit der Exponentialgleichung zu umgehen, können wir im ersten Schritt auch das dritte Logarithmusgesetz anwenden. Dieses besagt, dass der Logarithmus einer Potenz dem Exponenten mal dem Logarithmus entspricht.
Merke
Merke
3. Logarithmusgesetz:
$\log_{a}(x^y) = y\cdot \log_{a}(x)$
$\lg(3^{2 \cdot x +1})=4~~~~~|3. LG$
$(2 \cdot x + 1) \cdot lg (3) = 4$
Die Gleichung lässt sich nun einfach nach $x$ umstellen.
$(2 \cdot x + 1) \cdot lg (3) = 4~~~~~|:lg(3)$
$2 \cdot x + 1 =\frac{4}{lg(3)}~~~~~|-1$
$2 \cdot x = \frac{4}{lg(3)} - 1~~~~~|:2$
$x = \frac{1}{2} (\frac{4}{lg(3)} - 1)$
$x \approx 3,69$
Beide Methoden führen also zum selben Ergebnis. Letztendlich kann jeder für sich entscheiden, welche Variante er nutzt.
Logarithmusgleichungen mit mehreren Logarithmen
Logarithmusgleichungen können aus mehr als einem Logarithmus bestehen. Die unbekannte Variable $x$ taucht meistens gleich zweimal in der Gleichung auf.
$lg(x+3) + lg(x) = 1$
Im ersten Schritt müssen wir die Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen. Dabei helfen uns die Logarithmusgesetze. In diesem Fall wenden wir das erste Logarithmusgesetz an.
Merke
Merke
1. Logarithmusgesetz:
$\log_{a}(x) + \log_{a}(y) = \log_{a}(x\cdot y)$
$lg(x+3) + lg(x) = 1~~~~~|1.LG$
$lg((x+3) \cdot x) = 1$
Wir erhalten eine Logarithmusgleichung mit einer Unbekannten im Logarithmand und lösen diese nach bekanntem Verfahren auf.
$lg((x+3) \cdot x) = 1~~~~~| \log_{a}(b)=n \leftrightarrow a^n=b$
$(x+3)\cdot x = 10^1$
$x^2 + 3\cdot x = 10~~~~~|-10$
$x^2 + 3\cdot x -10 =0$
Wir erhalten eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der p-q-Formel lösen können.
Merke
Merke
p-q Formel:
Für eine Gleichung der Form $x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$ gilt:
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$
$x^2 + \textcolor{red}{3} \cdot x \textcolor{orange}{-10} =0$
$x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt[]((\frac{3}{2})^2 - (-10))$
$x_{1,2} = -1,5 \pm 3,5$
$x_1= -5~~~~~~~~~~~x_2= 2$
Wir erhalten zwei Lösungen für die quadratische Gleichung.
Methode
Methode
Vorgehensweise
1. Logarithmen zu einem Logarithmus zusammenfassen
2. Logarithmus in eine Potenz umwandeln
3. Quadratische Gleichung mithilfe der p-q-Formel auflösen
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