Suche
Kontakt
>
Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel

Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem vierten Logarithmusgesetz. 

Merke

4. Logarithmusgesetz:

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.

$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) =  \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Beispiele für das vierte Logarithmusgesetz

Beispiel

(1) $\log_{2}(\sqrt[3]{512}) =  \frac{1}{3}\cdot \log_{2}(512) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$

(2) $\log_{4}(\sqrt[5]{1024}) =  \frac{1}{5}\cdot \log_{4}(1024) = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes

Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst noch einmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.

$ Potenz: a^n = x            Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$

Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:

Methode

Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!

$ a^{\frac{m}{n}}  = \sqrt[n]{a^m}$

In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, das heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.

Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:

$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$

Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$

Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:

$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Merke

4. Logarithmusgesetz:

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.

$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) =  \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$frac{1}{5}cdot log_{10}(3)$

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Teste dein Wissen!

Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?

$\log_{3}(\sqrt[3]{96}) $

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?

$\log_{5}(\sqrt[]{530}) $

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Ergänze die fehlende Zahl mit Hilfe des vierten Logarithmusgesetzes.

$\lg_{}(\sqrt[2]{5})$ =  $\frac{1}{2}\cdot lg$

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

17.05.2024
Meine Tochter fühlt sich sehr wohl, ist noch nicht lange dabei, aber laut ihren Berichten wird ihr das Thema sehr gut erklärt und gut verständlich beigebracht, nur an dem umsetzen hapert es noch.
15.05.2024 , von Natascha M.
Freundliches Team, Nachhilfe bringt was.
15.05.2024 , von Susan N.
Wir sind mit allem total zufrieden und vorallem ist unser Sohn zufrieden. Die erste tolle Note nach nur wenigen Stunden Nachhilfe. Danke an das Team in Dresden, ihr macht einen tollen Job.
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7934