Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem vierten Logarithmusgesetz.
Merke
Merke
4. Logarithmusgesetz:
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Beispiele für das vierte Logarithmusgesetz
Beispiel
Beispiel
(1) $\log_{2}(\sqrt[3]{512}) = \frac{1}{3}\cdot \log_{2}(512) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
(2) $\log_{4}(\sqrt[5]{1024}) = \frac{1}{5}\cdot \log_{4}(1024) = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes
Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst noch einmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.
$ Potenz: a^n = x Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$
Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:
Methode
Methode
Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!
$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, das heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.
Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:
$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$
Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$
Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:
$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Merke
Merke
4. Logarithmusgesetz:
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz.
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$frac{1}{5}cdot log_{10}(3)$
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$\log_{3}(\sqrt[3]{96}) $
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$\log_{5}(\sqrt[]{530}) $
Ergänze die fehlende Zahl mit Hilfe des vierten Logarithmusgesetzes.
$\lg_{}(\sqrt[2]{5})$ = $\frac{1}{2}\cdot lg$
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen