Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem vierten Logarithmusgesetz.
Merke
4. Logarithmusgesetz:
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Beispiele für das vierte Logarithmusgesetz
Beispiel
(1) $\log_{2}(\sqrt[3]{512}) = \frac{1}{3}\cdot \log_{2}(512) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
(2) $\log_{4}(\sqrt[5]{1024}) = \frac{1}{5}\cdot \log_{4}(1024) = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$
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Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes
Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst noch einmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.
$ Potenz: a^n = x Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$
Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:
Methode
Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!
$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, das heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.
Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:
$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$
Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$
Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:
$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Merke
4. Logarithmusgesetz:
Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.
$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz.
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