Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

So funktioniert die Punkt- vor Strichrechnung

Inhaltsverzeichnis:

Die Mathematik bildet in unserem heutigen Leben eine sehr wichtige Grundlage. Damit die Mathematik aber diesen großen Stellenwert in der Moderne bekommen kann, sind Regeln wichtig. In diesem Kapitel wollen wir uns daher mit den Rechenregeln Punkt- vor Strichrechnung und Klammern vor Punkt- vor Strichrechnung befassen, die schon sehr früh das Rechnen mit Termen bestimmt.

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Vorrangregel: Punkt- vor Strichrechnung

Um in der Mathematik bei einer Rechnung immer auf das gleiche Ergebnis zu kommen, benötigen wir Rechenregeln. Eine dieser Regeln bezieht sich auf Terme, in denen verschiedene Rechenoperationen gleichzeitig durchgeführt werden. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Berechne folgenden Term: $2 \; + \; 5 \; \cdot \; 4$

Die Beispielaufgabe sieht zuerst gar nicht schwer aus. Wir rechnen $2 \; + \; 5$, erhalten daraus $7$ und multiplizieren dann diese $7$ mit $4$ und erhalten als Lösung $28$. 

Diese Lösung ist jedoch FALSCH. Aber wo genau liegt der Fehler?

Wir haben in unserem Beispiel nicht die Rechenregel Punkt- vor Strichrechnung beachtet. Diese besagt, dass wenn du mehrere Rechenoperationen in einem Term hast, du zuerst die Punktrechnungen, also Division und Multiplikation, durchführst und danach erst die Strichrechnungen, also Addition und Subtraktion. Für unser Beispiel bedeutet das folgendes:

$2 \; + \; \textcolor{BrickRed}{5 \; \cdot \; 4}$ ergibt:

$2 \; + \; \textcolor{BrickRed}{20}$, denn die Multiplikation ist eine Punktrechnung und ist somit vor der Strichrechnung durchzuführen. Im letzten Schritt folgt dann die Addition und das Endresultat lautet: $22$.

In dem nächsten Beispiel haben wir die Vorrangregel richtig angewendet:

Beispiel

Beispiel

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Löse den folgenden Term: $12 \;-\; \textcolor{BrickRed}{3 \; \cdot \;2}\;+\;11\;-\;\textcolor{BrickRed}{8\;\cdot \;2}$.

Im ersten Schritt schauen wir nach den Punktrechnungen, wie eben gelernt und rechnen diese aus:

$12 \;-\; \textcolor{BrickRed}{6}\;+\;11\;-\;\textcolor{BrickRed}{16}$.

Wir haben beide Punktrechnungen in einem Schritt gerechnet, und müssen jetzt nur noch die Strichrechnungen durchführen, um auf das Ergebnis zu kommen:

$6\;+\;11\;-16 \;=\;17\;-\;16=\;1$

Die Lösung unseres Beispiels lautet also $1$.

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Multiplikationen und Divisionen werden Punktrechnungen genannt.

Additionen und Subtraktionen werden Strichrechnungen genannt.

Punktrechnungen müssen immer vor Strichrechnungen berechnet werden.

Vorrangregel: Klammern vor Punkt- vor Strichrechnung

Eine Erweiterung der Punkt- vor Strichrechnung sind die Klammern vor Punkt- vor Strichrechnung. Diese besagt, dass Terme in Klammern, noch vor der Strichrechnung auszurechnen sind. In einem Beispielterm sieht das dann so aus:

Beispiel

Beispiel

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Löse: $7 \; \cdot \textcolor{BrickRed}{(9 \;-\;6)}$

Hierbei spielt es keine Rolle, welches Rechenzeichen in der Klammer ist, diese wird zuerst berechnet. Wenn jedoch mehrere Rechenoperationen in einer Klammer sind, gilt wieder die Punkt- vor Strichrechnung, bzw. die Klammern vor Punkt- vor Strichrechnung

Mit der Regel ergibt sich dann für den Term:

$7 \; \cdot \;\textcolor{BrickRed}{3} = 21$

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Klammern müssen vor Punkt- vor Strichrechnung berechnet werden.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!

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Löse:
$(7\;\cdot\; 3\;+\;3\;\cdot\; 3)\;:\;10\;-\;2$

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$7 \; \cdot (5 \;\cdot 1\;-\;3 )\;-\;12$

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Löse mithilfe der Punkt- vor Strichrechnung:
$12 \; - \;8 \; : \;2$

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Rechne mit der Punkt- vor Strichrechnung:
$3 \; + \; 4 \; \cdot \; 5$

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