Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Teiler und Vielfache einer Zahl

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Kapitel befassen wir uns mit dem Vielfachen und dem Teiler in der Mathematik. Die beiden dazugehörigen Regeln für den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache werden dir die Division in Zukunft sehr erleichtern.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler

Hier siehst du vorab eine kurze Darstellung der Definitionen von dem größten gemeinsamen Teiler und dem kleinsten gemeinsamsten Vielfachen. Im Lerntext erklären wir dir dann detailliert die beiden Begriffe und erläutern dir die Vorgehensweise beim Ermitteln des ggT und des kgV.

Methode

Methode

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Der ggT (größter gemeinsamer Teiler) gibt die größtmögliche Zahl an, durch die 2 oder mehr Zahlen teilbar sind.

Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) gibt an, wann sich die Vielfachen von 2 Zahlen das erste Mal begegnen.

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Größter gemeinsamer Teiler

Der größte gemeinsame Teiler, in der Mathematik auch ggT genannt, ist der Teiler einer Zahl, durch die wir zwei Zahlen dividieren, ohne dass wir danach noch einmal dividieren können. Wenn wir also zwei Zahlen haben, nehmen wir die 16 und die 24, schauen wir uns alle Zahlen an, durch die wir diese Zahlen dividieren können.

Für die Zahl 16 wären das: 1, 2, 4, 8, 16. Durch diese Zahlen können wir die Zahl 16 teilen.

Für die Zahl 24 sind die Teiler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Wir sehen bei beiden Zahlen viele gemeinsame Teiler, durch die beide Zahlen geteilt werden können, jedoch sind etwa die 3, die 12 oder die 16 Zahlen, durch die nur eine der beiden Zahlen geteilt werden kann. Der größte gemeinsame Teiler von beiden Zahlen beschreibt aber die Zahl, die am größten ist und durch die beide Zahlen geteilt werden können. In diesem Fall wäre der ggT, der größte gemeinsame Teiler von 16 und 24, also die Zahl 8.

Für ein weiteres Beispiel nehmen wir die Zahlen 62 und 26. Die Teiler von beiden Zahlen sind:

Für 62: 1, 2, 31, 62.

Für 26: 1, 2, 13, 26.

Wir sehen, dass der größte gemeinsame Teiler von 62 und 26 die Zahl 2 ist.

Merke

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Der größte gemeinsame Teiler in der Mathematik ist die größte Zahl, durch die beide Ausgangszahlen dividiert werden können.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Eine weitere wichtige Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache, auch kgV. Hierbei wird nicht nach den Teilern geschaut, sondern nach der Zahl, die beide Zahlen gleich haben, wenn man multipliziert. Schauen wir uns das an zwei Zahlen an:

Beispiel

Beispiel

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Gesucht ist das kgV der Zahlen 12 und 14. Wir wollen also sehen, welche die erste Zahl ist, bei der sich die 12er-Reihe und die 14er-Reihe kreuzen. Gehen wir dazu die Reihen einmal durch:

12er-Reihe: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168...

14er-Reihe: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168...

Wir erkennen, dass die Zahl 168 ein Vielfaches der beiden Reihen ist, denn die Zahl ist die Multiplikation der beiden Zahlen 12 und 14. Doch ist es auch das kleinste gemeinsame Vielfache? Nein, denn die Zahl 84 kommt auch in beiden Reihen vor, somit ist diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache.

In manchen Fällen ist es jedoch so, dass es kein kleinstes gemeinsames Vielfaches gibt, was kleiner als die Multiplikation der beiden Zahlen ist, etwa bei den Zahlen 3 und 5. Hier ist das kgV 15, also die Multiplikation von 3 und 5.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!

Übungsaufgaben

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Bilde den größten gemeinsamen Teiler aus den Zahlen 24 und 64.

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Bilde das kgV der Zahlen 3, 4 und 5.

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Bilde den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 15 und 20.

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Bilde das kleinste gemeinsame Vielfache von 11 und 5.

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