Wie berechnet man den größten gemeinsamen Teiler (ggT)?
Der größte gemeinsame Teiler (abgekürzt: ggT) ist dir schon durch das Kapitel Teiler und Vielfache bekannt. In diesem Kapitel schauen wir uns noch einmal den größten gemeinsamen Teiler an und bearbeiten dazu eine Übungsaufgabe mithilfe verschiedener Verfahren, die wir Schritt für Schritt durchgehen.
Methode
Die Grundlage für dieses Kapitel bildet sowohl das Wissen über Teiler und Vielfache, als auch Primzahlen und Primfaktorzerlegung. Die Themenseiten dazu kannst du durch klicken auf den jeweiligen Begriff erreichen.
Größter gemeinsamer Teiler
Merke
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, durch die beide Ausgangszahlen dividiert werden können.
Es gibt zwei Methoden, mit deren Hilfe man den größten gemeinsamen Teiler herausfinden kann. Die erste Methode ist das Bestimmen der Teilermengen der beiden Zahlen und das anschließende Vergleichen.
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Teilermengenverfahren
Beispiel
Bestimme den ggT von $54$ und $64$.
Im ersten Schritt schauen wir, durch welche Zahlen die Zahl $54$ teilbar ist. Dies geschieht der Reihe nach:
$2 \; \rightarrow$ ja; $3 \; \rightarrow$ ja; $4 \; \rightarrow$ nein; und so weiter. So entsteht eine Liste mit allen Zahlen, durch die die Zahl $54$ teilbar ist:
$2,\;3,\;6,\;9,\;18,\;27,\;54$
Dasselbe Verfahren verwenden wir, um zu schauen, durch welche Zahlen die zweite Zahl $64$ teilbar ist:
$2,\;4,\;8,\;16,\;32,\;64$
Jetzt vergleichen wir die beiden Listen miteinander und suchen den größten Wert, der in beiden Listen vorkommt. Dies ist der größte gemeinsame Teiler. Hier ist es die Zahl $2$.
Primfaktorverfahren
Beim Primfaktorverfahren zerlegt man die beiden Zahlen in die einzelnen Primfaktoren und vergleicht dann, welche Primfaktoren in beiden Zahlen vorhanden sind. Diese werden dann multipliziert und wir erhalten die Lösung.
Beispiel
Bestimme den ggT von $60$ und $70$.
Im ersten Schritt zerlegen wir die Zahl $60$ in ihre Primfaktoren. Diese werden der Größe nach sortiert:
$2 \cdot 2\cdot 3\cdot 5$
Die Primfaktoren der zweiten Zahl errechnen wir im nächsten Schritt:
$2\cdot 5\cdot 7$
Im nächsten Schritt vergleichen wir die beiden Primzahlenlisten und stellen fest, dass in beiden Listen einmal die Zahl $2$ und einmal die Zahl $5$ vorkommt. Die Multiplikation der beiden Zahlen, also $2\cdot5$, ergibt $10$. Somit ist der größte gemeinsame Teiler die Zahl $10$.
Wenn Faktoren in beiden Primfaktorzerlegungen mehrfach auftreten werden diese auch mehrfach in der Rechnung multipliziert.
Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!
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