Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) berechnen
Das kleinste gemeinsame Vielfache oder auch kurz kgV genannt, ist dir schon aus dem Kapitel Teiler und Vielfache bekannt. In diesem Kapitel schauen wir uns noch einmal das kleinste gemeinsame Vielfache an und gehen die beiden Methoden, wie du das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen kannst, Schritt für Schritt durch.
Methode
Die Grundlage für dieses Kapitel bildet sowohl das Wissen über Teiler und Vielfache, als auch Primzahlen und Primfaktorzerlegung. Die Themenseiten dazu kannst du durch Klicken auf den jeweiligen Begriff erreichen.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Merke
Das kgV ist die kleinste Zahl, die sowohl ein Vielfaches der ersten Zahl als auch ein Vielfaches der zweiten Zahl ist.
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Berechnung kgV
Nun kennst du die Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen bzw. kgV. Jetzt zeigen wir dir zwei Methoden, mit denen du das kgV berechnen kannst.
Zahlenreihenverfahren kgV
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu berechnen, kannst du die Zahlenreihen der beiden Zahlen bilden und schauen, welche die erste Zahl ist, die in beiden Zahlenreihen vorkommt. Hierzu ein Beispiel:
Beispiel
Bilde das kgV der Zahlen $12$ und $5$.
Im ersten Schritt bilden wir die Zahlenreihe der ersten Zahl, der $12$. Diese lautet wie folgt:
$12,\;24,\;36,\;48,\;60,\;72,\;84,\;96,\;108,\;120$ und so weiter
Im nächsten Schritt bilden wir die Zahlenreihe der zweiten Zahl, also der $5$:
$5,\;10,\;15,\;20,\;25,\;30,\;35,\;40,\;45,\;50,\;55,\;60,\;65$ und so weiter
Im letzten Schritt suchen wir die kleinste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. Dies ist die $60$.
In diesem Fall ist das Produkt der beiden Zahlen $12$ und $5$ das kleinste gemeinsame Vielfache. Dies ist jedoch nicht immer der Fall.
Primfaktorzerlegung kgV
Bei großen Zahlen kann mithilfe des Primfaktorzerlegung das kleinste gemeinsame Vielfache berechnet werden. Hierfür müssen die Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt werden.
Beispiel
Bilde das kgV von $405$ und $1350$.
Hierfür wollen wir das Primfaktorverfahren verwenden, bei dem wir die Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen.
Die Zerlegung der Zahl $405$ in die Primfaktoren ergibt:
$\textcolor{BrickRed}{3\cdot3\cdot3\cdot3}\cdot5$
Die Zerlegung der Zahl $1350$ in die Primfaktoren ergibt:
$\textcolor{BrickRed}{2}\cdot3\cdot3\cdot3\cdot \textcolor{BrickRed}{5\cdot5}$
Damit wir das kgV nun berechnen können, nehmen wir alle Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Rechnungen auftauchen, also die $2$, die $3$ und die $5$. Diese müssen wir nun miteinander multiplizieren. Aber woher wissen wir wie oft? Hierbei spielt die Anzahl eine Rolle. Der Faktor $3$ kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor. Bei der ersten Zahl drei Mal, bei der zweiten Zahl vier Mal. Es wird immer der größere Wert genommen, also vier Mal die $3$. Genauso sieht es bei der $5$ und der $2$ aus. Zusammengefasst heißt das für unsere Rechnung:
$2 \cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5$
Die $2$ kommt nur in einer Zerlegung einmal vor, also wird sie auch nur einmal verrechnet. Die $3$ kommt bei der einen Zerlegung drei Mal, bei der anderen Zerlegung vier Mal vor. Wir nehmen die $3$ also vier Mal. Der letzte Faktor ist die $5$. Dieser taucht in der Zerlegung der Zahl $1350$ genau zwei Mal auf, also auch in der Rechnung für das kgV.
$2 \cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5=4050$
Zusammengerechnet ergibt dies $4050$. Diese Zahl bildet das kleinste gemeinsame Vielfache.
Nun weißt du, wie man mithilfe des Zahlenreihenverfahrens und der Primfaktorzerlegung das kgV berechnen kann. Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen! Wir wünschen dir viel Erfolg!
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