Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) berechnen

Bilde das kgV der Zahlen $12$ und $5$.

Im ersten Schritt bilden wir die Zahlenreihe der ersten Zahl, der $12$. Diese lautet wie folgt:

$12,\;24,\;36,\;48,\;60,\;72,\;84,\;96,\;108,\;120$ und so weiter

Im nächsten Schritt bilden wir die Zahlenreihe der zweiten Zahl, also der $5$:

$5,\;10,\;15,\;20,\;25,\;30,\;35,\;40,\;45,\;50,\;55,\;60,\;65$ und so weiter

Im letzten Schritt suchen wir die kleinste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. Dies ist die $60$.

In diesem Fall ist das Produkt der beiden Zahlen $12$ und $5$ das kleinste gemeinsame Vielfache. Dies ist jedoch nicht immer der Fall.

Bilde das kgV von $405$ und $1350$.

Hierfür wollen wir das Primfaktorverfahren verwenden, bei dem wir die Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen.

Die Zerlegung der Zahl $405$ in die Primfaktoren ergibt:

$\textcolor{BrickRed}{3\cdot3\cdot3\cdot3}\cdot5$

Die Zerlegung der Zahl $1350$ in die Primfaktoren ergibt:

$\textcolor{BrickRed}{2}\cdot3\cdot3\cdot3\cdot \textcolor{BrickRed}{5\cdot5}$

Damit wir das kgV nun berechnen können, nehmen wir alle Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Rechnungen auftauchen, also die $2$, die $3$ und die $5$. Diese müssen wir nun miteinander multiplizieren. Aber woher wissen wir wie oft? Hierbei spielt die Anzahl eine Rolle. Der Faktor $3$ kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor. Bei der ersten Zahl drei Mal, bei der zweiten Zahl vier Mal. Es wird immer der größere Wert genommen, also vier Mal die $3$. Genauso sieht es bei der $5$ und der $2$ aus. Zusammengefasst heißt das für unsere Rechnung:

$2 \cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5$

Die $2$ kommt nur in einer Zerlegung einmal vor, also wird sie auch nur einmal verrechnet. Die $3$ kommt bei der einen Zerlegung drei Mal, bei der anderen Zerlegung vier Mal vor. Wir nehmen die $3$ also vier Mal. Der letzte Faktor ist die $5$. Dieser taucht in der Zerlegung der Zahl $1350$ genau zwei Mal auf, also auch in der Rechnung für das kgV.

$2 \cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5=4050$

Zusammengerechnet ergibt dies $4050$. Diese Zahl bildet das kleinste gemeinsame Vielfache.