In diesem Kapitel befassen wir uns mit dem Umformen bzw. Vereinfachen von Termen, sowohl ohne als auch mit Klammern. Im Anschluss daran kannst du mit Übungen dein Wissen vertiefen.
Methode
Die Grundlage für dieses Kapitel bildet das Wissen über Terme und das Distributivgesetz. Die Themenseiten dazu kannst du durch klicken auf den jeweiligen Begriff erreichen.
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Termumformungen
Manchmal sind Terme sehr lang oder unsortiert. In diesem Fall gibt es die Möglichkeit, sie zu vereinfachen bzw. umzuformen. Dabei werden die Werte der Terme nicht verfälscht, sondern nur zusammengezogen oder anders aufgeschrieben. Der mathematische Ausdruck des Terms ändert sich also nicht, sondern nur das Aussehen. Schau dir hierzu folgendes Beispiel mit den zwei unbekannten Werten $x$ und $y$ an:
Beispiel
Forme folgenden Term um: $7x \;+\;3y\;-2\;=4y\;+\;5x\;+5$
Beim Umformen von Termen werden die x-Werte jeweils zusammen mit allen Zahlen ohne Variablen auf eine Seite gebracht. Auf die andere Seite kommen alle y-Werte.
In unserem Beispiel würde also schrittweise jeder x-Wert und jede Zahl ohne Variable auf die linke Seite vom Gleichheitszeichen gebracht werden. Danach werden alle y-Werte auf die rechte Seite vom Gleichheitszeichen gebracht:
$7x \;+\;3y\;-2\;=4y\;+\;5x\;+\;5 \;\;\; |-5x$
$7x \textcolor{BrickRed}{-\;5x} \;+\;3y\;-2\;=4y\;-\;5\;\;\;\;\;|+5$
$7x\;-5x\;+\;3y\;-2\;\textcolor{BrickRed}{+\;5}\;=\;4y\;\;\;\;|-3y$
$7x\;-5x\;-2\;+\;5\;=\;4y\;-\;3y$
Zuletzt vereinfachen wir den Term, indem wir alles zusammenfassen, was wir zusammenfassen können:
$2x\;+\;3\;=\;y$
Eine Termumformung muss aber nicht immer so komplex wie in unserem Beispiel sein. Man bezeichnet schon das Zusammenfassen von gleichen Variablen, die mehrfach im Term vorkommen, als Termumformung.
Also ist auch das Umformen von $x \;+\;2x\;+\;3x$ in $6x$ eine Termumformung.
Termumformungen mit Klammern
Das Umformen von Termen mit Klammern ist mithilfe des Distributivgesetzes möglich. Zuerst werden die Klammern aufgelöst und dann wird der Term, wie oben, vereinfacht. Im folgenden Beispiel zeigen wir dir, wie du die Klammern auflöst:
Beispiel
Forme um: $7 \cdot (3+2x)=35$
Nach dem Distributivgesetz können wir die beiden Werte in der Klammer jeweils mit $7$ multiplizieren und erhalten:
$7 \cdot 3\; +\; 7 \cdot 2x \; =\; 35$
Weiter zusammengefasst ergibt das:
$21+14x=35$
Bringen wir jetzt noch die Zahlen auf eine und das $x$ auf die andere Seite ergeben sich folgende Rechenschritte:
$21+14x=35~~~|-21$
$14x=14~~~~~~|:14$
$x=1$
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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