Assoziativgesetz - Übungen & Aufgaben
Das Assoziativgesetz ist eines der drei Rechengesetze in der Mathematik, das man schon sehr früh kennenlernt. Es gilt in sehr vielen Fällen, etwa der Addition oder der Multiplikation, später auch beim Rechnen mit Exponenten. Hier wollen wir dir die verschiedenen Möglichkeiten für die Addition und die Multiplikation zeigen und auch klären, warum das Assoziativgesetz nicht für die Division oder die Subtraktion gilt.
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz, oft auch Verknüpfungsgesetz oder Verbindungsgesetz genannt, befasst sich mit der Verbindung von mehreren mathematischen Termen. Die Definition lautet:
Merke
Merke
In einem Summen- oder Produktterm mit mehr als zwei Termen dürfen die Faktoren und Summanden beliebig mit Klammern verbunden werden.
$(a + b) + c = a + (b+c)$
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b\cdot c)$
Wenn du also eine Rechenaufgabe lösen musst und dort nur multipliziert oder nur addiert wird, dann kannst du die Reihenfolge beliebig vertauschen. Wir schauen uns dies einmal an einigen Beispielen an.
Beispiele des Assoziativgesetzes
Wir fangen mit einem einfachen Additionsbeispiel an.
$ \textcolor{green}{(5 \; + \; 4)} \; +\; 3 \; + \; 2 \; + \; 1 \; = \textcolor{brown}{x}$
Hier wollen wir die Zahlen von $5$ bis $1$ addieren. Wir haben eine Klammer, die uns vorschreibt, die Zahlen $\textcolor{green}{5}$ und $\textcolor{green}{4}$ zuerst zu addieren. Gehen wir diesen Weg, erhalten wir $9\;$.
Addieren wir jetzt noch die $1$ erhalten wir $10$. Die letzten beiden Zahlen dazu gerechnet ergibt dann $\; \textcolor{brown}{15}$.
Wir können aber auch die Zahlen in einer anderen Reihenfolge addieren. Wenn wir die $3$ und die $2$ addieren, es ergibt sich $5$ und dann die $5$ aus der Klammer dazu addieren, erhalten wir $10$. Die $4$ und die $1$ dazu und es ergibt sich auch $\textcolor{brown}{15}$.
Genauso sieht es bei allen anderen Additionen aus. Du kannst dir also die Reihenfolge, in der du addierst, aussuchen. Wir haben im ersten Beispiel die Zahl $9$ mit der Zahl $1$ addiert, obwohl sie nicht hintereinander standen. Hier ein paar weitere Beispiele:
$533 \; +\; 11 \; +\; 57\; = \; 590 \; + \; 11 = \; 601$ oder $533 \; +\; 11 \; +\; 57\; = \; 533 \; + \; 68 = \; 601$
$92 \; + \; 31 \; + \; 7 \; + \; 70 = \; 92 \; +\; 101 \;+ \; 7 \;= \;193\;+\;7\;=\;200 $
Dasselbe gilt auch für die Multiplikation. Du kannst die Zahlen beliebig miteinander multiplizieren, egal ob Klammern gesetzt sind oder nicht. In den folgenden Beispielen hat man markiert, welche Zahlen zuerst multipliziert wurden.
$(\textcolor{blue}{5} \cdot 4) \cdot 3 \cdot \textcolor{blue}{2}\; = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 30 \cdot 4 = 120$
$3 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{blue}{7} \cdot 9) = \textcolor{blue}{35} \cdot 3 \cdot 9 = 105 \cdot 9 = 945$
Wann gilt das Assoziativgesetz nicht?
Es gibt zwei Ausnahmen für das Assoziativgesetz, die Subtraktion und die Division. Bei beiden Rechenoperationen darf nicht einfach jeder Term getauscht oder verrechnet werden, wann man möchte. Es ist wichtig, dass die erste Zahl, also der Dividend und der Minuend immer am Anfang stehen. Hier zwei Beispiele:
$\textcolor{blue}{40 : 4} : 2 = \textcolor{blue}{10} : 2 = \textcolor{green}{5}$ und nicht $\;\rightarrow \;40 : \textcolor{blue}{4 : 2} = 40 : 2 = \textcolor{brown}{20} $
$\textcolor{blue}{90 - 30} - 20 = \textcolor{blue}{60} - 20 = \textcolor{green}{40}$ und nicht $\;\rightarrow \;90 - \textcolor{blue}{30 - 20} = 90 - 10 = \textcolor{brown}{80} $
Hier kannst du dir die drei Rechengesetze Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz als Lerntabelle herunterladen.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
