Mithilfe des Satz von Vieta können wir quadratische Gleichungen lösen. Mit dem Satz von Vieta kann man die Werte für eine quadratische Gleichung im Kopf lösen. Dies funktioniert leider nur mit ganzen Zahlen, da es sonst zu kompliziert wird.
Merke
Satz von Vieta
$1\cdot x^2+ \textcolor{red}{p}\cdot x+\textcolor{blue}{q} =0$
$x_1+x_2 = -\textcolor{red}{p}$
$x_1\cdot x_2 = \textcolor{blue}{q}$
Mit dem Satz von Vieta kann man durch Ausprobieren die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen. Die Lösungen von der quadratischen Gleichung sind meistens zwei Werte: $x_1$ und $x_2$.
Der Satz von Vieta setzt die beiden Lösungen der Gleichung in einen Zusammenhang mit den Werten $p$ und $q$, die man aus der Ausgangsgleichung ablesen kann.
Dabei muss vor dem $x^2$ eine $1$ als Faktor stehen und die quadratische Gleichung muss in der Normalform gegeben sein. Sie darf nicht in der Scheitelpunktform stehen. Genauso wie es bei der p-q-Formel und der Mitternachtsformel der Fall ist. Mit diesen beiden Formeln können auch quadratische Gleichungen gelöst werden, jedoch benötigen wir dafür meist einen Taschenrechner.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel quadratische Gleichung mit dem Satz von Vieta lösen
Beispiel
$x^2-8x+12=0$
Diese Gleichung ist gegeben. Wir wenden den Satz von Vieta an:
$x_1+x_2 = -(-8)=8$
$x_1\cdot x_2 = 12$
Nun müssen durch Ausprobieren Werte für $x_1$ und $x_2$ gefunden werden.
Es ist am Einfachsten, wenn wir uns zunächst mögliche Werte für $x_1$ und $x_2$ für die Multiplikation überlegen. Denn hierfür gibt es weniger Möglichkeiten.
Wenn wir eine Möglichkeit gefunden haben, probieren wir danach sofort aus, ob diese Zahlen auch für die Addition das richtige Ergebnis liefern.
$x_1\cdot x_2 = 12$
$x_1=3$ und $x_2=4$
Das Produkt dieser beiden Zahlen ist $12$. Doch ist auch die Summe der Zahlen gleich $8$?
$4+3=7 \neq 8$
Nein, die Summe ist leider nicht richtig. Daher probieren wir weiter:
$x_1=2$ und $x_2=6$
Denn $2\cdot 6 = 12$
Schauen wir ob die Summe der beiden Zahlen $8$ ergibt:
$2+6=8$
Die Summe der beiden Zahlen ergibt das Richtige.
In Klassenarbeiten empfiehlt sich es nicht den Satz von Vieta anzuwenden, wenn nicht explizit danach gefragt ist. Denn beim Ausprobieren können leicht Fehler passieren und es dauert länger auf das Ergebnis zu kommen, als die p-q-Formel zu bilden.
Fassen wir die Vorgehensweise noch einmal zusammen:
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Vorgehensweise: quadratische Gleichung mit dem Satz von Vieta lösen
Methode
Vorgehensweise:
- Die quadratische Gleichung in die Normalform umformen.
- So umformen, dass der Faktor vor dem $x^2 ~1$ ist.
- $p$ und $q$ notieren und in die Formel einsetzen.
- Zuerst Werte für die Multiplikation suchen und diese dann direkt in die Addition einsetzen. Dies machst du am besten im Kopf.
- Die beiden Werte, die die Bedingungen erfüllen, notieren.
Mit den Übungsaufgaben kannst du das Lösen von quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Vieta einüben. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
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$f(x)=2x^2−4x−16$
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