Mathematik > Terme und Gleichungen

2. binomische Formel: Herleitung und Beispiele

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der zweiten binomischen Formel. Die zweite binomische Formel hilft dir beim Auflösen von Differenzen zum Quadrat.

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2. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$

Rechnerische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Die Herleitung der zweiten binomischen Formel folgt den Regeln des Auflösens von Klammern und ist leicht nachvollziehbar. Zunächst müssen wir die Potenz ausschreiben:

$(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b)$

Nun können beide Klammer ausmultipliziert werden. Dabei müssen wir vor allem auf die negativen Vorzeichen achten.

$(a - b) \cdot (a - b) = a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2 $

Die beiden mittleren Klammern haben den gleichen mathematischen Ausdruck und lassen sich zusammenfassen.

$a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2= a^2 - 2\cdot a \cdot b + b^2$

Wir erhalten die zweite binomische Formel. Die erste und zweite binomische Formel unterscheiden sich also nur im Plus- und Minuszeichen in der Klammer. Ihre Herleitungen ähneln sich sehr.

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2. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$

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Beispiele für die zweite binomische Formel

Beispiel

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  • $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$
  • $(\textcolor{blue}{5} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{5}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2 = 25 - 10 \cdot b  + b^2 $
  • $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{9})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{9} +\textcolor{red}{9}^2 = a^2 - 18 \cdot a + 81$
  • $(\textcolor{blue}{2\cdot z} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{y})^2 = \textcolor{blue}{4\cdot z}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{2\cdot z} \cdot \textcolor{red}{y} +\textcolor{red}{y}^2 = 4 \cdot z^2 - 4 \cdot z \cdot y + y^2$

Grafische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Da die binomischen Formeln einen quadratischen Ausdruck beschreiben, lässt sich die zweite binomische Formel auch grafisch mit Hilfe des Flächeninhalts herleiten.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel
Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (1)

Betrachten wir zunächst das linke Quadrat: Das äußere Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$. Das innere Quadrat mit den Seitenlängen $a - b$ besitzt den Flächeninhalt $A = (a - b)^2$

Die rechte Abbildung zeigt, dass man das Quadrat auch in ein inneres Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = a\cdot b$ zerlegen kann.  Tatsächlich können wir zwei Rechtecke mit diesem Flächeninhalt einzeichnen, die sich dann jedoch überschneiden. Das Quadrat, was sich durch die Überschneidung ergibt, entspricht dem Flächeninhalt $b^2$.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)
Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)

Um nun den Flächeninhalt des inneren, blauen Rechtecks ($(a-b)^2$) zu berechnen, müssen wir die zwei Rechtecke mit dem Flächeninhalt $a \cdot b$ vom Flächeninhalt des gesamten Quadrats abziehen ($a^2$).

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b$

Allerdings überschneiden sich die beiden grünen Rechtecke. Der Flächeninhalt des Quadrates, das durch diese Überschneidung entsteht ($b^2$), muss also wieder dazu gerechnet werden. Dadurch erhalten wir die zweite binomische Formel:

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

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Wandel den Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in einen Klammerterm um.

$144 - 24 \cdot y + y^2$

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Wie lautet die zweite binomische Formel?

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Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umformen?

$(4 - z)^2$

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Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umfomen?

$(11 - x)^2$

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