Suche
Kontakt
>
Mathematik > Terme und Gleichungen

2. binomische Formel: Herleitung und Beispiele

2. binomische Formel - Herleitung & Beispiele! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der zweiten binomischen Formel. Die zweite binomische Formel hilft dir beim Auflösen von Differenzen zum Quadrat.

Merke

2. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$

Rechnerische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Die Herleitung der zweiten binomischen Formel folgt den Regeln des Auflösens von Klammern und ist leicht nachvollziehbar. Zunächst müssen wir die Potenz ausschreiben:

$(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b)$

Nun können beide Klammer ausmultipliziert werden. Dabei müssen wir vor allem auf die negativen Vorzeichen achten.

$(a - b) \cdot (a - b) = a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2 $

Die beiden mittleren Klammern haben den gleichen mathematischen Ausdruck und lassen sich zusammenfassen.

$a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2= a^2 - 2\cdot a \cdot b + b^2$

Wir erhalten die zweite binomische Formel. Die erste und zweite binomische Formel unterscheiden sich also nur im Plus- und Minuszeichen in der Klammer. Ihre Herleitungen ähneln sich sehr.

Merke

2. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Beispiele für die zweite binomische Formel

Beispiel

  • $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$
  • $(\textcolor{blue}{5} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{5}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2 = 25 - 10 \cdot b  + b^2 $
  • $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{9})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{9} +\textcolor{red}{9}^2 = a^2 - 18 \cdot a + 81$
  • $(\textcolor{blue}{2\cdot z} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{y})^2 = \textcolor{blue}{4\cdot z}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{2\cdot z} \cdot \textcolor{red}{y} +\textcolor{red}{y}^2 = 4 \cdot z^2 - 4 \cdot z \cdot y + y^2$

Grafische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Da die binomischen Formeln einen quadratischen Ausdruck beschreiben, lässt sich die zweite binomische Formel auch grafisch mit Hilfe des Flächeninhalts herleiten.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel
Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (1)

Betrachten wir zunächst das linke Quadrat: Das äußere Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$. Das innere Quadrat mit den Seitenlängen $a - b$ besitzt den Flächeninhalt $A = (a - b)^2$

Die rechte Abbildung zeigt, dass man das Quadrat auch in ein inneres Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = a\cdot b$ zerlegen kann.  Tatsächlich können wir zwei Rechtecke mit diesem Flächeninhalt einzeichnen, die sich dann jedoch überschneiden. Das Quadrat, was sich durch die Überschneidung ergibt, entspricht dem Flächeninhalt $b^2$.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)
Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)

Um nun den Flächeninhalt des inneren, blauen Rechtecks ($(a-b)^2$) zu berechnen, müssen wir die zwei Rechtecke mit dem Flächeninhalt $a \cdot b$ vom Flächeninhalt des gesamten Quadrats abziehen ($a^2$).

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b$

Allerdings überschneiden sich die beiden grünen Rechtecke. Der Flächeninhalt des Quadrates, das durch diese Überschneidung entsteht ($b^2$), muss also wieder dazu gerechnet werden. Dadurch erhalten wir die zweite binomische Formel:

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen! Viel Spaß dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Wandel den Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in einen Klammerterm um.

$144 - 24 \cdot y + y^2$

Teste dein Wissen!

Wie lautet die zweite binomische Formel?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umformen?

$(4 - z)^2$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umfomen?

$(11 - x)^2$

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

17.06.2024 , von Tilo R.
Wenn es der kleinen Spaß macht zu lernen gibt es nicht besseres
12.06.2024 , von Kacper B.
Sowohl unsere Tochter als auch wir sind mit der initialen Beratung und Nachhilfe sehr zufrieden.
11.06.2024 , von Nadine D.
Unsere Tochter hat ihre Note innerhalb eines halben Jahres um zwei Noten verbessert. Nun können wir flexibel ein weiteres Fach dazu wählen. Das Ergebnis passt und die Flexibilität sorgt dafür, dass der Vertrag über zwei Jahre optimal genutzt werden kann. Absolute Weiterempfehlung!
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7851