2. binomische Formel: Herleitung und Beispiele

Beispiele für die zweite binomische Formel

Grafische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Da die binomischen Formeln einen quadratischen Ausdruck beschreiben, lässt sich die zweite binomische Formel auch grafisch mit Hilfe des Flächeninhalts herleiten.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (1)

Betrachten wir zunächst das linke Quadrat: Das äußere Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$. Das innere Quadrat mit den Seitenlängen $a - b$ besitzt den Flächeninhalt $A = (a - b)^2$

Die rechte Abbildung zeigt, dass man das Quadrat auch in ein inneres Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = a\cdot b$ zerlegen kann.  Tatsächlich können wir zwei Rechtecke mit diesem Flächeninhalt einzeichnen, die sich dann jedoch überschneiden. Das Quadrat, was sich durch die Überschneidung ergibt, entspricht dem Flächeninhalt $b^2$.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)

Um nun den Flächeninhalt des inneren, blauen Rechtecks ($(a-b)^2$) zu berechnen, müssen wir die zwei Rechtecke mit dem Flächeninhalt $a \cdot b$ vom Flächeninhalt des gesamten Quadrats abziehen ($a^2$).

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b$

Allerdings überschneiden sich die beiden grünen Rechtecke. Der Flächeninhalt des Quadrates, das durch diese Überschneidung entsteht ($b^2$), muss also wieder dazu gerechnet werden. Dadurch erhalten wir die zweite binomische Formel:

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen! Viel Spaß dabei!