2. binomische Formel: Herleitung und Beispiele
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der zweiten binomischen Formel. Die zweite binomische Formel hilft dir beim Auflösen von Differenzen zum Quadrat.
Merke
Merke
2. binomische Formel
$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-} 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$
Rechnerische Herleitung der zweiten binomischen Formel
Die Herleitung der zweiten binomischen Formel folgt den Regeln des Auflösens von Klammern und ist leicht nachvollziehbar. Zunächst müssen wir die Potenz ausschreiben:
$(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b)$
Nun können beide Klammer ausmultipliziert werden. Dabei müssen wir vor allem auf die negativen Vorzeichen achten.
$(a - b) \cdot (a - b) = a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2 $
Die beiden mittleren Klammern haben den gleichen mathematischen Ausdruck und lassen sich zusammenfassen.
$a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2= a^2 - 2\cdot a \cdot b + b^2$
Wir erhalten die zweite binomische Formel. Die erste und zweite binomische Formel unterscheiden sich also nur im Plus- und Minuszeichen in der Klammer. Ihre Herleitungen ähneln sich sehr.
Merke
Merke
2. binomische Formel
$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-} 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Beispiele für die zweite binomische Formel
Beispiel
Beispiel
- $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-} 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$
- $(\textcolor{blue}{5} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{5}^2 \textcolor{green}{-} 2 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2 = 25 - 10 \cdot b + b^2 $
- $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{9})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-} 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{9} +\textcolor{red}{9}^2 = a^2 - 18 \cdot a + 81$
- $(\textcolor{blue}{2\cdot z} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{y})^2 = \textcolor{blue}{4\cdot z}^2 \textcolor{green}{-} 2 \cdot \textcolor{blue}{2\cdot z} \cdot \textcolor{red}{y} +\textcolor{red}{y}^2 = 4 \cdot z^2 - 4 \cdot z \cdot y + y^2$
Grafische Herleitung der zweiten binomischen Formel
Da die binomischen Formeln einen quadratischen Ausdruck beschreiben, lässt sich die zweite binomische Formel auch grafisch mit Hilfe des Flächeninhalts herleiten.

Betrachten wir zunächst das linke Quadrat: Das äußere Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$. Das innere Quadrat mit den Seitenlängen $a - b$ besitzt den Flächeninhalt $A = (a - b)^2$
Die rechte Abbildung zeigt, dass man das Quadrat auch in ein inneres Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = a\cdot b$ zerlegen kann. Tatsächlich können wir zwei Rechtecke mit diesem Flächeninhalt einzeichnen, die sich dann jedoch überschneiden. Das Quadrat, was sich durch die Überschneidung ergibt, entspricht dem Flächeninhalt $b^2$.

Um nun den Flächeninhalt des inneren, blauen Rechtecks ($(a-b)^2$) zu berechnen, müssen wir die zwei Rechtecke mit dem Flächeninhalt $a \cdot b$ vom Flächeninhalt des gesamten Quadrats abziehen ($a^2$).
$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b$
Allerdings überschneiden sich die beiden grünen Rechtecke. Der Flächeninhalt des Quadrates, das durch diese Überschneidung entsteht ($b^2$), muss also wieder dazu gerechnet werden. Dadurch erhalten wir die zweite binomische Formel:
$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen! Viel Spaß dabei!
Teste dein Wissen!
Wandel den Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in einen Klammerterm um.
$144 - 24 \cdot y + y^2$
Wie lautet die zweite binomische Formel?
Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umformen?
$(4 - z)^2$
Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umfomen?
$(11 - x)^2$
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema


















Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen