Mathematik > Terme und Gleichungen

2. binomische Formel: Herleitung und Beispiele

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der zweiten binomischen Formel. Die zweite binomische Formel hilft dir beim Auflösen von Differenzen zum Quadrat.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

2. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$

Rechnerische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Die Herleitung der zweiten binomischen Formel folgt den Regeln des Auflösens von Klammern und ist leicht nachvollziehbar. Zunächst müssen wir die Potenz ausschreiben:

$(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b)$

Nun können beide Klammer ausmultipliziert werden. Dabei müssen wir vor allem auf die negativen Vorzeichen achten.

$(a - b) \cdot (a - b) = a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2 $

Die beiden mittleren Klammern haben den gleichen mathematischen Ausdruck und lassen sich zusammenfassen.

$a^2 + (a \cdot (-b)) + (-b \cdot a) + b^2= a^2 - 2\cdot a \cdot b + b^2$

Wir erhalten die zweite binomische Formel. Die erste und zweite binomische Formel unterscheiden sich also nur im Plus- und Minuszeichen in der Klammer. Ihre Herleitungen ähneln sich sehr.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

2. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Beispiele für die zweite binomische Formel

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen
  • $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2$
  • $(\textcolor{blue}{5} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{5}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{b} +\textcolor{red}{b}^2 = 25 - 10 \cdot b  + b^2 $
  • $(\textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{9})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{9} +\textcolor{red}{9}^2 = a^2 - 18 \cdot a + 81$
  • $(\textcolor{blue}{2\cdot z} \textcolor{green}{-} \textcolor{red}{y})^2 = \textcolor{blue}{4\cdot z}^2 \textcolor{green}{-}  2 \cdot \textcolor{blue}{2\cdot z} \cdot \textcolor{red}{y} +\textcolor{red}{y}^2 = 4 \cdot z^2 - 4 \cdot z \cdot y + y^2$

Grafische Herleitung der zweiten binomischen Formel

Da die binomischen Formeln einen quadratischen Ausdruck beschreiben, lässt sich die zweite binomische Formel auch grafisch mit Hilfe des Flächeninhalts herleiten.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel
Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (1)

Betrachten wir zunächst das linke Quadrat: Das äußere Quadrat mit der Seitenlänge $a$ hat den Flächeninhalt $a^2$. Das innere Quadrat mit den Seitenlängen $a - b$ besitzt den Flächeninhalt $A = (a - b)^2$

Die rechte Abbildung zeigt, dass man das Quadrat auch in ein inneres Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = a\cdot b$ zerlegen kann.  Tatsächlich können wir zwei Rechtecke mit diesem Flächeninhalt einzeichnen, die sich dann jedoch überschneiden. Das Quadrat, was sich durch die Überschneidung ergibt, entspricht dem Flächeninhalt $b^2$.

Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)
Grafischer Beweis der zweiten binomischen Formel (2)

Um nun den Flächeninhalt des inneren, blauen Rechtecks ($(a-b)^2$) zu berechnen, müssen wir die zwei Rechtecke mit dem Flächeninhalt $a \cdot b$ vom Flächeninhalt des gesamten Quadrats abziehen ($a^2$).

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b$

Allerdings überschneiden sich die beiden grünen Rechtecke. Der Flächeninhalt des Quadrates, das durch diese Überschneidung entsteht ($b^2$), muss also wieder dazu gerechnet werden. Dadurch erhalten wir die zweite binomische Formel:

$(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen! Viel Spaß dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Wandel den Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel in einen Klammerterm um.

$144 - 24 \cdot y + y^2$

Teste dein Wissen!

Wie lautet die zweite binomische Formel?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umformen?

$(4 - z)^2$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lässt sich der Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel umfomen?

$(11 - x)^2$

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

Erika F., vom 2020-11-19
Mein Kind ist erst kurz dabei geht sehr gerne hin alle sehr freundlich für alles Andere ist es noch zu früh
Nadine N., vom 2020-11-17
Meine Tochter geht gern hin.
anonymisiert, vom 2020-11-16
Sehr gute rundum Betreuung!
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
n-tv Siegel Testsieger Nachhilfe Studienkreis 2019
TÜV-Gütesiegel - Servicequalität Nachhilfe
Service-Champions - Studienkreis - Nr. 1 der Nachhilfeanbieter
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen Ihre Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um den am besten geeigneten Lehrer zu ermitteln. Ihre Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir Ihnen telefonisch stellen könnten:

  • "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschen Sie Nachhilfe?
  • "In welchem Fach und bei welchen Themen wird Unterstützung benötigt?"

Bereits registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7851