Suche
Kontakt

3. binomische Formel: Herleitung und Beispiele
Mathematik > Terme und Gleichungen

3. binomische Formel - Herleitung & Beispiele! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der dritten binomischen Formel. Die dritte binomische Formel hilft dir beim Zusammenfassen zweier Klammern, die miteinander multipliziert werden und die gleichen Variablen besitzen. Die jeweils zweite Variable hat jedoch ein anderes Vorzeichen.

Merke

3. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2)$

Rechnerische Herleitung der dritten binomischen Formel

Die Herleitung der dritten binomischen Formel folgt, ähnlich wie bei der ersten und zweiten binomischen Formel, ganz normalen Umformungsregeln. Zunächst multiplizieren wir die Klammern miteinander, indem wir jede Variable innerhalb der einen Klammer mit den Variablen der anderen Klammer multiplizieren.

$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a + a \cdot ( - b) + b\cdot a + b \cdot (- b)$

Rechnen wir die Vorzeichen zusammen erhalten wir folgenden Term:

$a \cdot a + a \cdot ( - b) + b\cdot a + b \cdot (- b) = a^2 - a\cdot b + a \cdot b - b^2$

Die beiden mittleren Ausdrücke ($a\cdot b$ und $-a \cdot b$) kürzen sich gegenseitig raus. Was übrig bleibt ist die dritte binomische Formel:

$a^2 - a\cdot b + a \cdot b - b^2 = a^2 - b^2$ 

Merke

3. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2)$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

Beispiele für die dritte binomische Formel

Beispiel

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2)$

$(\textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{x}) \cdot (\textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{x}) = (\textcolor{blue}{3}^2 - \textcolor{red}{x}^2) = (9 - x^2)$

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{5}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{5}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{5}^2) = (a^2 - 25)$

$(\textcolor{blue}{81} - \textcolor{red}{y}^4) = (\textcolor{blue}{9} + \textcolor{red}{y^2}) \cdot (\textcolor{blue}{9} - \textcolor{red}{y^2})$

Geometrische Herleitung der dritten binomischen Formeln

Ähnlich wie die erste und die zweite binomische Formel lässt sich auch die dritte binomische Formel grafisch über die Flächeninhalte von Rechtecken herleiten bzw. beweisen.

Grafische Herleitung und Beweis der dritten binomischen Formel
Grafische Herleitung und Beweis der dritten binomischen Formel

In der linken Abbildung entspricht das blaue Vieleck dem Flächeninhalt $A_{Vieleck} = a^2 - b^2$. Dasselbe Vieleck lässt sich an der Diagonalen auseinander schneiden und ergibt neu zusammengesetzt ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $A_{Rechteck}= (a+b) \cdot (a-b)$, das du in der rechten Abbildung siehst.

Da der Flächeninhalt durch die Transformation nicht geändert wurde, kann man die unterschiedlichen Ausdrücke gleichsetzen:

$A_{Vieleck} = A_{Rechteck}$

$a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$

Wir erhalten auch hier die dritte binomische Formel.

Anwendung der dritten binomischen Formel

Die dritte binomische Formel kann genutzt werden, um Produkte der folgenden Art zu vereinfachen und gegebenenfalls ohne Taschenrechner auszurechnen:

$105 \cdot 95 = (100 + 5) \cdot (100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975$

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Berechne das Ergebnis mit Hilfe der dritten binomischen Formel. Benutze keinen Taschenrechner!

$6^2 - 5^2$

Teste dein Wissen!

Wie lässt sich der Term mit Hilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen? 

$(x + 5) \cdot (x - 5)$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lautet die dritte binomische Formel?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Löse dieses Produkt mit Hilfe der dritten binomischen Formel. Kreuze das richtige Ergebnis an.

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
28.01.2025 , von Siham K.
Sehr gut
15.01.2025 , von Simone K.
Wir sind sehr zufrieden mit dem Studienkreis!
14.01.2025 , von Madlen M.
Meine Tochter geht sehr gerne hin, kurzfristig konnten wir noch eine zweite Stunde/Fach dazubuchen. Es wird sehr auf die Größe der Gruppe geachtet und das es von der Klassenstufe zusammenpasst. So kann es bleiben.

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7852