Binomische Formeln hoch 3, 4 und 5
Die "klassischen" drei binomischen Formeln gehen jeweils von einem quadrierten Term aus, das heißt von einem Term, der hoch 2 genommen wird. Es stellt sich natürlich die Frage, ob es auch binomische Formeln für den Fall gibt, dass der Exponent des Binoms größer als zwei ist. Tatsächlich gibt es auch für diese seltenen Fälle binomische Formeln. Der Grund, weshalb diese eher unbekannt sind, liegt darin, dass die Ausdrücke deutlich komplizierter und nicht so einfach zu lernen sind, wie die der binomischen Formeln hoch 2.
Methode
Im Folgenden werden wir drei mögliche Fälle von höheren Exponenten mit Hilfe von binomischen Formeln berechnen. Als Beispiel orientieren wir uns jeweils an der ersten binomischen Formel, also an einer Summe in der Klammer.
1. binomische Formel: $(a \textcolor{red}{+} b)^2 = a^2 + 2\cdot a \cdot b + b^2$
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Binomische Formeln mit dem Exponent 3
Um binomische Terme mit dem Exponenten $3$ zu vereinfachen, lösen wir zunächst die Potenz auf. Dabei zerlegen wir den hoch 3 Term in eine Multiplikation aus einer einzelnen Klammer und einem hoch 2 Term, den wir wiederum mit den uns bekannten binomischen Formeln auflösen können.
$(a + b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) = (a^2+2\cdot a \cdot b + b^2) \cdot (a + b)$
Nun müssen wir die zwei übrigen Klammern ausmultiplizieren, das heißt wir nehmen jede Zahl der einen Klammer mit der der anderen mal und verknüpfen sie durch ein Pluszeichen. Dabei ergibt sich zunächst ein sehr komplizierter Ausdruck.
$(a+b)^3 = (a \cdot a^2) + (a \cdot 2\cdot a\cdot b) + (a \cdot b^2) + (b \cdot a^2) + (b\cdot 2\cdot a\cdot b) + (b \cdot b^2)$
Rechnen wir soweit es geht alle Multiplikationen zusammen, erhalten wir folgenden Ausdruck:
$(a + b)^3 = a^3 + \textcolor{red}{(2 \cdot a^2 \cdot b)}+ \textcolor{blue}{(a \cdot b^2)} + \textcolor{red}{(b \cdot a^2)} + \textcolor{blue}{(2\cdot a\cdot b^2)} + b^3$
Die farbig markierten Terme lassen sich zusammenfassen:
$(a + b)^3 = a^3 + \textcolor{red}{3 \cdot a^2 \cdot b} + \textcolor{blue}{3 \cdot a \cdot b^2} + b^3$
Diese Formel lässt sich entsprechend auch für den Fall einer Differenz formulieren.
Merke
Die binomischen Fomeln mit dem Exponenten $3$
$(a+b)^3 = a^3 + 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 + b^3$$(a-b)^3 = a^3 - 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 - b^3$
Beispiel
$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3\cdot x \cdot 4 +2^3$
$(x + 2)^3 =x^3 + 6\cdot x^2 + 12 \cdot x + 8$
Binomische Formeln mit dem Exponent 4
Ist der Exponent des Terms eine $4$, wird der Ausdruck noch komplizierter. Das Vorgehen ist dasselbe, wie beim Exponent $3$. Zunächst zerlegen wir die Potenz in eine Multiplikation aus einem hoch 3 Term und einer einzelnen Klammer. Den hoch 3 Term können wir mit der eben aufgestellten binomischen Formel ausrechnen.
$(a+b)^4 = (a+b)^3 \cdot (a+b) = (a^3 + 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 + b^3) \cdot (a+b)$
Jetzt müssen die Klammern nur noch ausmultipliziert werden.
$(a+b)^4 = a^4 + 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$
Der Term lässt sich natürlich auch wieder für den Fall formulieren, dass innerhalb der Klammer eine Differenz steht.
Merke
Die binomischen Formeln mit dem Exponenten $4$
$(a+b)^4 = a^4 + 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$
$(a-b)^4 = a^4 - 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 - 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$
Beispiel
$(3+x)^4 = 81 + 108 \cdot x + 54 \cdot x^2 + 12 \cdot x^3 + x^4$
$(3-x)^4 = 81 -108 \cdot x + 54 \cdot x^2 - 12 \cdot x^3 + x^4$
Binomische Formeln mit dem Exponent 5
Der Fall, dass der Exponent eines Binoms $5$ ist, ist sehr selten. Aber auch für diesen Fall wollen wir einmal die binomische Formel formulieren. Das Vorgehen ist dasselbe wie bei den Exponenten $3$ und $4$. Als Ergebnis erhalten wir folgende Ausdrücke:
Merke
Die binomischen Formeln mit dem Exponenten $5$
$(a+b)^5 = a^5 + 5\cdot a^4\cdot b + 10\cdot a^3 \cdot b^2 + 10 \cdot a^2\cdot b^3 + 5\cdot a \cdot b^4+ b^5$
$(a-b)^5 = a^5 - 5\cdot a^4\cdot b + 10\cdot a^3 \cdot b^2 - 10 \cdot a^2\cdot b^3 + 5\cdot a \cdot b^4- b^5$
Beispiel
$(5+x)^5 = 3125 + 3125 \cdot x + 1250 \cdot x^2 + 250 \cdot x^3 + 25 \cdot x^4 + x^5$
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