Die quadratische Ergänzung ist neben der p-q-Formel und der Mitternachtsformel eine Methode, um quadratische Gleichungen nach $x$ umzustellen und zu lösen. Bei der quadratischen Ergänzung handelt es sich nicht um eine bestimmte Formel, sondern um eine mathematische Methode, durch die quadratische Gleichungen unter Zuhilfenahme der binomischen Formeln nach $x$ umgestellt werden können.
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Quadratische Ergänzung - Schritt für Schritt erklärt
Betrachten wir folgende quadratische Gleichung:
$2 \cdot x^2 + 8 \cdot x - 10 = 0$
In einem ersten Schritt müssen wir die quadratische Gleichung in ihre Normalform umformen, das heißt, dass der Faktor vor dem $x^2$ eine $1$ sein muss. Das erreichen wir ganz einfach, indem wir die ganze Gleichung durch die Zahl, die momentan vor dem $x^2$ steht, teilen.
1. Schritt: Umformung der quadratischen Gleichung in die Normalform
$2 \cdot x^2 + 8 \cdot x - 10 = 0~~~~| :2$
$x^2 + 4\cdot x - 5 = 0$
2. Schritt: Variablentrennung
Im nächsten Schritt sortieren wir die Gleichung so um, dass alle Zahlen, die mit einer Variablen (in diesem Fall $x$) verbunden sind, allein auf einer Seite stehen.
$x^2 + 4\cdot x - 5 = 0~~~~| + 5$
$x^2 + 4\cdot x = 5$
3. Schritt: quadratische Ergänzung
Nun kommen wir zum entscheidenden Schritt: die quadratische Ergänzung. Um eine quadratische Ergänzung machen zu können, benötigen wir eine Zahl aus der Gleichung. Allerdings nicht eine beliebige Zahl, sondern die Zahl, die vor dem $x$ steht. Egal welche quadratische Gleichung du berechnest - du nimmst immer die Zahl, die vor dem $x$ steht. In diesem Fall also die $4$.
$x^2 + \textcolor{red}{4}\cdot x = 5$
Eine quadratische Ergänzung folgt immer demselben Muster: Du addierst auf beiden Seiten der Gleichung die Hälfte der Zahl vor dem $x$ zum Quadrat. Sehen wir uns das Beispiel an:
$x^2 + \textcolor{red}{4}\cdot x = 5~~~~|+(\frac{\textcolor{red}{4}}{2})^2$
$x^2 + \textcolor{red}{4}\cdot x + (\frac{\textcolor{red}{4}}{2})^2 = 5 + (\frac{\textcolor{red}{4}}{2})^2$
$x^2 + 4\cdot x + 4 = 5 + 4$
$x^2 + 4\cdot x + 4 = 9$
Merke
Quadratische Ergänzung
$x^2 + \textcolor{red}{p}\cdot x = q~~~~| + (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2$
$x^2 + p\cdot x + (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2 = q + (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2$
Wieso machen wir das? Aus mathematischer Sicht ändern wir an der Gleichung nichts, da wir auf beiden Seiten dasselbe addieren. Schauen wir uns den nächsten Schritt an.
4. Schritt: Binomische Formel erkennen und rückwärts anwenden
Für den nächsten Schritt musst du dich an die binomischen Formeln erinnern.
Gut zu wissen
1. Binomische Formel: $(a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot b + b^2$
2. Binomische Formel: $(a - b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2$
3. Binomische Formel: $(a + b)\cdot(a - b) = a^2- b^2$
Vergleichen wir die linke Seite unserer quadratischen Gleichung mit der ersten binomischen Formel fällt auf, dass wir durch die quadratische Ergänzung einen ganz ähnlichen Ausdruck erzeugt haben:
$\textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{green}{4\cdot x} + \textcolor{red}{4} = 9$
$\textcolor{blue}{a^2} + \textcolor{green}{2\cdot a\cdot b} + \textcolor{red}{b^2} = 9$
Wir können den linken Ausdruck der quadratischen Gleichung also mit Hilfe der binomischen Formel vereinfachen:
$\textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{green}{4\cdot x} + \textcolor{red}{4} = 9~~~~~~~~~~\textcolor{blue}{a^2} + \textcolor{green}{2\cdot a\cdot b} + \textcolor{red}{b^2} = 9$
$(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})^2 = 9~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 =9$
Nun haben wir das $x$ nur noch einmal in der Gleichung, sodass wir die Gleichung nun ganz einfach nach $x$ umstellen können.
5. Schritt: Gleichung nach $x$ umstellen
$(x + 2)^2 = 9~~~~~|\sqrt{}$
$x + 2 = \pm 3$
$x_1 = 1 ~~~~~~~~~~x_2 = - 5$
Die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen.
Merke
Anwendung der quadratischen Ergänzung
1. Umformung der quadratischen Gleichung in die Normalform
2. Sortieren der Variablen
3. Quadratische Ergänzung
4. Binomische Formel erkennen und rückwärts anwenden
5. Gleichung nach $x$ umstellen
Beispielaufgaben
Beispiel
$x^2 + 5\cdot x +4 = 0$
$x^2 + 5\cdot x +4 = 0~~~~~|- 4$
$x^2 + 5 \cdot x = -4~~~~~| +(\frac{5}{2})^2$
$x^2 + 5 \cdot x +(\frac{5}{2})^2= - 4 +(\frac{5}{2})^2$
$(x + \frac{5}{2})^2 = - \frac{16}{4} + \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4}~~~~~|\sqrt{}$
$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$
$x_1 = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -1 ~~~~~~~~~~x_2 = - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -4$
Beispiel
$2\cdot x^2 - 8 \cdot x -24 = 0$
$2\cdot x^2 - 8 \cdot x -24 = 0~~~~~|:2$
$x^2 - 4\cdot x -12 = 0~~~~~| +12$
$x^2 - 4\cdot x = 12~~~~~|+(\frac{-4}{2})^2$
$x^2 - 4\cdot x + 4 = 12 + 4$
Achtung: Da wir die Form $a^2 \textcolor{red}{-} 2 \cdot x + 4$ haben, müssen wir die zweite binomische Formel anwenden: $(a\textcolor{red}{-} b)^2 = a^2 \textcolor{red}{-} 2\cdot a \cdot b + b^2$
$(x - 2)^2 = 16~~~~~\sqrt{}$
$x - 2 = \pm 4$
$x_1 = - 2 ~~~~~~~~~~x_2 = 6$
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