Koeffizienten von linearen Gleichungssystemen

Koeffizienten und absolute Glieder linearer Gleichungssysteme

Um nun direkt ablesen zu können, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat, behelfen wir uns damit, dass eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems als lineare Geradengleichung gelesen werden kann, da sie zwei unterschiedliche Variablen enthält. So entspricht der Koeffizient von $x$ der Steigung (m) der Geraden. Die Zahl, die ohne Variable steht, heißt absolutes Glied und entspricht dem y-Achsenabschnitt (n).

Entsprechend diesen drei Möglichkeiten können wir drei Aufgabentypen unterscheiden.

Fehlenden Koeffizienten berechnen - genau eine Lösung

Für welchen Koeffizienten von $x$ hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?

$I:~~y~=~$___$~ \cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x - 3$

Das Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn die Steigungen (also der $x$-Koeffizient) unterschiedlich sind. Wir dürfen für den fehlenden Koeffizienten also jede Zahl außer $5$ einsetzen.

Fehlenden Koeffizienten berechnen - keine Lösung

Für welchen Koeffizienten von $x$ besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung?

$I:~~y~=~$___$~\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x - 3$

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Gleichungen dieselbe Steigung ($x$-Koeffizient) haben, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt (absolutes Glied). Der gesuchte Koeffizient muss also $5$ sein.

Absolutes Glied berechnen - unendlich viele Lösungen

Welchen Wert muss das absolute Glied besitzen, damit das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat?

$I:~~y~=~5\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x + $____

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn sowohl die Steigung ($x$-Koeffizient) als auch der y-Achsenabschnitt (absolutes Glied) gleich sind.

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