Lineare Gleichungssysteme (LGS) können sowohl mittels Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren rechnerisch als auch zeichnerisch gelöst werden. Bevor wir aber überhaupt mit dem Lösen des Gleichungssystems beginnen, können wir bereits Aussagen über die Lösungsmenge machen. Dazu müssen wir uns die Koeffizienten des Systems anschauen. Die Koeffizienten des Gleichungssystems sind die Zahlen, die als Faktor vor den Variablen $x$ und $y$ stehen.
Beispiel
$\textcolor{red}{Koeffizienten}\:in\:linearen\:Gleichungssystemen$
$I:~y~=~\textcolor{red}{6}~\cdot x - 5$
$II:~y~=~\textcolor{red}{4}~ \cdot x + 3$
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Koeffizienten und absolute Glieder linearer Gleichungssysteme
Um nun direkt ablesen zu können, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat, behelfen wir uns damit, dass eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems als lineare Geradengleichung gelesen werden kann, da sie zwei unterschiedliche Variablen enthält. So entspricht der Koeffizient von $x$ der Steigung (m) der Geraden. Die Zahl, die ohne Variable steht, heißt absolutes Glied und entspricht dem y-Achsenabschnitt (n).
Beispiel
$\textcolor{red}{Koeffizienten}\:und\:\textcolor{green}{absolute~Glieder}\: in\: linearen\: Gleichungssystemen$
$I:~y~=~\textcolor{red}{6}~\cdot x \textcolor{green}{- 5}$
$II:~y~=~\textcolor{red}{4}~ \cdot x \textcolor{green}{+ 3}$
$\textcolor{red}{Koeffizienten}\:und\:\textcolor{green}{absolute~Glieder}\:bei\:linearen\:Geradengleichungen$
$y~=~\textcolor{red}{m} \cdot x \textcolor{green}{+ n}$
Merke
Es gibt drei mögliche Lösungsmengen für ein lineares Gleichungssystem:
- Das LGS besitzt genau eine Lösung, wenn die Steigungen unterschiedlich sind. $(m_1 \neq m_2)$
- Das LGS besitzt keine Lösung, wenn die Steigungen gleich sind, die y-Achsenabschnitte aber verschieden. $(m_1 = m_2$ und $n_1 \neq n_2)$
- Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, wenn sowohl die Steigungen als auch die y-Achsenabschnitte gleich sind. $(m_1 = m_2$ und $n_1 = n_2)$
Entsprechend diesen drei Möglichkeiten können wir drei Aufgabentypen unterscheiden.
Fehlenden Koeffizienten berechnen - genau eine Lösung
Für welchen Koeffizienten von $x$ hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?
$I:~~y~=~$___$~ \cdot x + 9$
$II:y~=5\cdot x - 3$
Das Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, wenn die Steigungen (also der $x$-Koeffizient) unterschiedlich sind. Wir dürfen für den fehlenden Koeffizienten also jede Zahl außer $5$ einsetzen.
Beispiel
Dieses lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung:
$I:~~y~=~3~\cdot x + 9$
$II:y~=5\cdot x - 3$
Fehlenden Koeffizienten berechnen - keine Lösung
Für welchen Koeffizienten von $x$ besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung?
$I:~~y~=~$___$~\cdot x + 9$
$II:y~=5\cdot x - 3$
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Gleichungen dieselbe Steigung ($x$-Koeffizient) haben, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt (absolutes Glied). Der gesuchte Koeffizient muss also $5$ sein.
Beispiel
Dieses lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung:
$I:~~y~=~5~\cdot x + 9$
$II:y~=5\cdot x - 3$
Absolutes Glied berechnen - unendlich viele Lösungen
Welchen Wert muss das absolute Glied besitzen, damit das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat?
$I:~~y~=~5\cdot x + 9$
$II:y~=5\cdot x + $____
Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn sowohl die Steigung ($x$-Koeffizient) als auch der y-Achsenabschnitt (absolutes Glied) gleich sind.
Beispiel
Dieses lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen:
$I:~~y~=~5\cdot x + 9$
$II:y~=5\cdot x + 9$
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Übungsaufgaben
Welchen Wert muss der fehlende $x$-Koeffizient haben, damit das lineare Gleichungssystem keine Lösung ergibt?
$I: y = $___$ \cdot x + 11$
$II: y = 6 \cdot x - 4$
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