Lineare Gleichungssysteme durch Gleichsetzen lösen

• Gleichsetzungsverfahren anwenden
• Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung
• Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

Neben dem Additions- und dem Einsetzverfahren kannst du lineare Gleichungssysteme auch mithilfe von Gleichsetzen lösen.

Gleichsetzungsverfahren anwenden

Wir wollen folgendes Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen.

$I:~14=2\cdot y + 4\cdot x$

$II:~4\cdot y=4\cdot x + 4$

1. Schritt: Gleichungen nach einer Variablen umstellen

Im ersten Schritt formen wir beide Gleichungen mithilfe der Äquivalenzumformung so um, dass eine Variable allein auf einer Seite steht. In diesem Fall formen wir nach $x$ um:

$I:~4\cdot x=14 - 2 \cdot y$

$II:~4\cdot x=4 \cdot y - 4$

Wir könnten die Gleichung noch nach $x$ anstatt $4\cdot x$ umstellen, wodurch wir jedoch Kommazahlen erhalten würden.

2. Schritt: Gleichungen gleichsetzen

Da wir auf der jeweils linken Seite der Gleichungen denselben Ausdruck haben ($4\cdot x$), können wir die rechten Seiten gleichsetzen.

$I:~4\cdot x \textcolor{orange}{=}14 - 2 \cdot y$

$II:~4\cdot x \textcolor{orange}{=} 4 \cdot y - 4$

__________________________________________________

$14 - 2 \cdot y \textcolor{orange}{=} 4 \cdot y - 4$

3. Schritt: Lineare Gleichung ausrechnen

Wir erhalten eine lineare Gleichung, in der nur noch eine der Variablen vorkommt. Diese Gleichung können wir mithilfe der Äquivalenzumformung lösen.

$14 - 2 \cdot y =4 \cdot y - 4~~~~|+4$

$18 - 2\cdot y = 4 \cdot y~~~~|+2\cdot y$

$18 = 6\cdot y~~~~|:6$

$y = 3$

4. Schritt: Zweite Variable durch Einsetzen ermitteln

Nachdem wir ein Ergebnis für $y$ berechnet haben, können wir $x$ bestimmen, indem wir $y$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.

$einsetzen~in~I:14=2\cdot y + 4\cdot x$

$14=2\cdot 3 + 4\cdot x$

$14=6 + 4\cdot x~~~~|-6$

$8=4\cdot x~~~~|:4$

$x=2$

Als Lösung erhalten wir $x=2$ und $y=3$. Das Gleichungssystem liefert also genau eine Lösung.

Grundsätzlich können lineare Gleichungssysteme drei unterschiedliche Lösungsmengen haben

• genau eine Lösung

• keine Lösung

• unendlich viele Lösungen

Schauen wir uns die anderen beiden Fälle nun auch noch an.