Lineare Gleichungssysteme durch Gleichsetzen lösen

Gleichsetzungsverfahren anwenden

Wir wollen folgendes Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen.

$I:~14=2\cdot y + 4\cdot x$

$II:~4\cdot y=4\cdot x + 4$

1. Schritt: Gleichungen nach einer Variablen umstellen

Im ersten Schritt formen wir beide Gleichungen mithilfe der Äquivalenzumformung so um, dass eine Variable allein auf einer Seite steht. In diesem Fall formen wir nach $x$ um:

$I:~4\cdot x=14 - 2 \cdot y$

$II:~4\cdot x=4 \cdot y - 4$

Wir könnten die Gleichung noch nach $x$ anstatt $4\cdot x$ umstellen, wodurch wir jedoch Kommazahlen erhalten würden.

2. Schritt: Gleichungen gleichsetzen

Da wir auf der jeweils linken Seite der Gleichungen denselben Ausdruck haben ($4\cdot x$), können wir die rechten Seiten gleichsetzen.

$I:~4\cdot x \textcolor{orange}{=}14 - 2 \cdot y$

$II:~4\cdot x \textcolor{orange}{=} 4 \cdot y - 4$

__________________________________________________

$14 - 2 \cdot y \textcolor{orange}{=} 4 \cdot y - 4$

3. Schritt: Lineare Gleichung ausrechnen

Wir erhalten eine lineare Gleichung, in der nur noch eine der Variablen vorkommt. Diese Gleichung können wir mithilfe der Äquivalenzumformung lösen.

$14 - 2 \cdot y =4 \cdot y - 4~~~~|+4$

$18 - 2\cdot y = 4 \cdot y~~~~|+2\cdot y$

$18 = 6\cdot y~~~~|:6$

$y = 3$

4. Schritt: Zweite Variable durch Einsetzen ermitteln

Nachdem wir ein Ergebnis für $y$ berechnet haben, können wir $x$ bestimmen, indem wir $y$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.

$einsetzen~in~I:14=2\cdot y + 4\cdot x$

$14=2\cdot 3 + 4\cdot x$

$14=6 + 4\cdot x~~~~|-6$

$8=4\cdot x~~~~|:4$

$x=2$

Als Lösung erhalten wir $x=2$ und $y=3$. Das Gleichungssystem liefert also genau eine Lösung.

Grundsätzlich können lineare Gleichungssysteme drei unterschiedliche Lösungsmengen haben

• genau eine Lösung

• keine Lösung

• unendlich viele Lösungen

Schauen wir uns die anderen beiden Fälle nun auch noch an.

Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung

Dieses lineare Gleichungssystem ergibt keine Lösung.

$I:~2\cdot x = -5 \cdot y$

$II:~2\cdot x + 5\cdot y = -10$

Formen wir die beiden Gleichungen jeweils nach $2\cdot x$ um und setzten sie gleich, erhalten wir:

$-5\cdot y = -5 \cdot y - 10$

$0 = -10$

Das Ergebnis ist ein mathematisch unkorrekter Ausdruck, der uns zeigt, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die beiden Gleichungen gleich sind. Oft ist dies nicht direkt aus der Aufgabe zu erkennen und die Gleichungen müssen zunächst umgeformt werden.

$I:~x=7 + 3\cdot x$

$II:~2\cdot x = 14 + 6\cdot y$

______________________________

$I:~x=7 + 3\cdot x$

$II:~x = 7 + 3\cdot y$

Setzen wir die Gleichungen gleich, erhalten wir:

$7 + 3\cdot x= 7+ 3\cdot x~~~~|-7+ 3\cdot x$

$0=0$

Als Ergebnis erhält man einen mathematisch korrekten Ausdruck, der allerdings keinen Wert für $y$ oder $x$ liefert.

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