Linearfaktorzerlegung quadratischer Gleichungen

Die folgenden quadratischen Gleichungen sollen in ihre Linearfaktoren zerlegt werden.

Beispiel 1:

 $x^2+3x-4=0$ 

Als erstes berechnen wir mit der p-q-Formel die Nullstellen:

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$

$x^2 \textcolor{red}{+3} \cdot x \textcolor{orange}{-4} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{3}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{3}}{2})^2-\textcolor{orange}{-4})}$

$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{(\frac{9}{4} + 4)}$

$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{6,25}= -1,5 \pm 2,5$

$x_1= 1$

$x_2 = -4$

Daraus ergeben sich die Linearfaktoren:

$x-1$    und    $x+4$

Die Quadratische Gleichung bzw. Funktion kann sowohl in der Normalform geschrieben werden als auch in der Produktform:

$x^2+3x-4 = 0 ~~\leftrightarrow~~(x-1)\cdot (x+4)=0$

$f(x)=x^2+3x-4~~\leftrightarrow~~f(x)=(x-1)\cdot (x+4)$

Beispiel 2:

$f(x)=2x^2-4x-16$

Zunächst setzen wir diese Funktion gleich Null:

$2x^2-4x-16=0$

Anschließend muss der Faktor $\textcolor{turquoise}{a}$ vor unserem $\textcolor{blue}{x^2}$ eliminiert werden, da sonst die p-q-Formel nicht angewendet werden kann. Dazu dividieren wir die Gleichung durch die Zahl 2:

$\textcolor{turquoise}{2}\textcolor{blue}{x^2}-4x-16=0 |:\textcolor{turquoise}{2}$

$x^2-2x-8=0$

Anschließend berechnen wir mit der p-q-Formel die Nullstellen:

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$

$x^2 \textcolor{red}{-2} \cdot x \textcolor{orange}{-8} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{-2}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{-2}}{2})^2-\textcolor{orange}{-8})}$

$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{(1) + 8}$

$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{9}= 1 \pm 3$

$x_1= 4$

$x_2 = -2$

Daraus ergeben sich die Linearfaktoren:

$x-4$    und    $x+2$

Die Quadratische Gleichung bzw. Funktion kann sowohl in der Normalform geschrieben werden als auch in der Produktform:

$2x^2-4x-16=0~~\leftrightarrow~~x^2-2x-8 = 0 ~~\leftrightarrow~~(x-4)\cdot (x+2)=0$

$f(x)=2x^2-4x-16~~\leftrightarrow~~f(x)=2\cdot (x-4)\cdot (x+2)$

Die Nullstellen der Funktion sind $-5$ und $1$.

Wir können die Funktionsgleichung mithilfe von Linearfaktoren schreiben:

$ (x-x_1)\cdot (x-x_2) $

$ f(x)=(x-(-5))\cdot (x-1) $

$ f(x)=(x+5)\cdot (x-1) $

Wenn wir die Funktionsgleichung nun in die Normalform überführen wollen, müssen wir lediglich die Klammern ausmultiplizieren (auflösen):

$f(x)= x\cdot x +x\cdot (-1) +5\cdot x +5\cdot (-1)$

$f(x)= x^2-x+5x-5$

$f(x)= x^2+4x-5$

Folgender Bruch ist gegeben:

$\large{\frac{x^2+4x-5}{x^2+x-2}}$

Bei diesem Bruch können wir nicht kürzen, da wir sowohl im Zähler als auch im Nenner jeweils eine Summe haben. ("In Summen kürzen nur die Dummen.") Daher zerlegen wir beide Funktionen in ihre Linearfaktoren.

Für den Zähler haben wir dies oben schon gemacht:

$x^2+4x-5~~~ \rightarrow~~~ (x+5)\cdot (x-1)$

Um die Nullstellen der unteren Funktion zu ermitteln, wenden wir bei dieser Aufgabe den Satz von Vieta an, da die Zahlenkombination sehr einfach ist. Die Aufgabe kann jedoch auch mit der p-q-Formel gelöst werden.

$1\cdot x^2+ \textcolor{red}{1}\cdot x\textcolor{blue}{-2}$

$x_1+x_2 = -\textcolor{red}{1}$

$x_1\cdot x_2 = \textcolor{blue}{-2}$

Durch Ausprobieren erhalten wir:

$x_1= 1$ und $x_2= -2$

Der Nenner lässt sich mithilfe von Linearfaktoren also auch so schreiben:

$(x-1)\cdot (x-(-2))~~\rightarrow~~(x-1)\cdot (x+2)$

Schreiben wir nun sowohl den Zähler des Bruches als auch den Nenner des Bruches in der Produktschreibweise, also mithilfe von Linearfaktoren, so können wir den Bruch nun kürzen, da nun ein Produkt vorliegt (und keine Summe mehr).

$\large{\frac{x^2+4x-6}{x^2+x-2} = \frac{(x+5)\cdot (x-1)}{(x-1)\cdot (x+2)}=\frac{(x+5)\cdot \cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}\cdot (x+2)}= \frac{x+5}{x+2}} $

Dank der Linearfaktorzerlegung haben wir den komplizierten Bruch vereinfacht.