Linearfaktorzerlegung quadratischer Gleichungen

Die folgenden quadratischen Gleichungen sollen in ihre Linearfaktoren zerlegt werden.

Beispiel 1:

 $x^2+3x-4=0$ 

Als erstes berechnen wir mit der p-q-Formel die Nullstellen:

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$

$x^2 \textcolor{red}{+3} \cdot x \textcolor{orange}{-4} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{3}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{3}}{2})^2-\textcolor{orange}{-4})}$

$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{(\frac{9}{4} + 4)}$

$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{6,25}= -1,5 \pm 2,5$

$x_1= 1$

$x_2 = -4$

Daraus ergeben sich die Linearfaktoren:

$x-1$    und    $x+4$

Die Quadratische Gleichung bzw. Funktion kann sowohl in der Normalform geschrieben werden als auch in der Produktform:

$x^2+3x-4 = 0 ~~\leftrightarrow~~(x-1)\cdot (x+4)=0$

$f(x)=x^2+3x-4~~\leftrightarrow~~f(x)=(x-1)\cdot (x+4)$

Beispiel 2:

$f(x)=2x^2-4x-16$

Zunächst setzen wir diese Funktion gleich Null:

$2x^2-4x-16=0$

Anschließend muss der Faktor $\textcolor{turquoise}{a}$ vor unserem $\textcolor{blue}{x^2}$ eliminiert werden, da sonst die p-q-Formel nicht angewendet werden kann. Dazu dividieren wir die Gleichung durch die Zahl 2:

$\textcolor{turquoise}{2}\textcolor{blue}{x^2}-4x-16=0 |:\textcolor{turquoise}{2}$

$x^2-2x-8=0$

Anschließend berechnen wir mit der p-q-Formel die Nullstellen:

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$

$x^2 \textcolor{red}{-2} \cdot x \textcolor{orange}{-8} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{-2}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{-2}}{2})^2-\textcolor{orange}{-8})}$

$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{(1) + 8}$

$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{9}= 1 \pm 3$

$x_1= 4$

$x_2 = -2$

Daraus ergeben sich die Linearfaktoren:

$x-4$    und    $x+2$

Die Quadratische Gleichung bzw. Funktion kann sowohl in der Normalform geschrieben werden als auch in der Produktform:

$2x^2-4x-16=0~~\leftrightarrow~~x^2-2x-8 = 0 ~~\leftrightarrow~~(x-4)\cdot (x+2)=0$

$f(x)=2x^2-4x-16~~\leftrightarrow~~f(x)=2\cdot (x-4)\cdot (x+2)$