Linearfaktorzerlegung quadratischer Gleichungen
Eine quadratische Gleichung kann in ihre Linearfaktoren zerlegt werden. Wie der Name Faktor schon sagt, wird die quadratische Gleichung dabei in ein Produkt umgeformt. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ kann also in die Produktform $a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0 $ überführt werden.
Merke
Merke
Bei der Zerlegung in Linearfaktoren wird der quadratische Term in ein Produkt umgeformt:
$ax^2+bx+c ~~~\rightarrow~~~a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$
$x_1$ und $x_2$ sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ und
$(x-x_1)$ und $(x-x_2)$ sind die beiden Linearfaktoren.
$x_1$ und $x_2$ sind dabei die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ bzw. die Lösungen der quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$. Diese können wir entweder mit der p-q-Formel, der Mitternachtsformel oder auch mit dem Satz von Vieta bestimmen.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiele - Linearfaktorzerlegung
Beispiel
Beispiel
Die folgenden quadratischen Gleichungen sollen in ihre Linearfaktoren zerlegt werden.
Beispiel 1:
$x^2+3x-4=0$
Als erstes berechnen wir mit der p-q-Formel die Nullstellen:
$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$
$x^2 \textcolor{red}{+3} \cdot x \textcolor{orange}{-4} = 0$
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{3}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{3}}{2})^2-\textcolor{orange}{-4})}$
$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{(\frac{9}{4} + 4)}$
$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{6,25}= -1,5 \pm 2,5$
$x_1= 1$
$x_2 = -4$
Daraus ergeben sich die Linearfaktoren:
$x-1$ und $x+4$
Die Quadratische Gleichung bzw. Funktion kann sowohl in der Normalform geschrieben werden als auch in der Produktform:
$x^2+3x-4 = 0 ~~\leftrightarrow~~(x-1)\cdot (x+4)=0$
$f(x)=x^2+3x-4~~\leftrightarrow~~f(x)=(x-1)\cdot (x+4)$
Beispiel 2:
$f(x)=2x^2-4x-16$
Zunächst setzen wir diese Funktion gleich Null:
$2x^2-4x-16=0$
Anschließend muss der Faktor $\textcolor{turquoise}{a}$ vor unserem $\textcolor{blue}{x^2}$ eliminiert werden, da sonst die p-q-Formel nicht angewendet werden kann. Dazu dividieren wir die Gleichung durch die Zahl 2:
$\textcolor{turquoise}{2}\textcolor{blue}{x^2}-4x-16=0 |:\textcolor{turquoise}{2}$
$x^2-2x-8=0$
Anschließend berechnen wir mit der p-q-Formel die Nullstellen:
$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$
$x^2 \textcolor{red}{-2} \cdot x \textcolor{orange}{-8} = 0$
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{-2}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{-2}}{2})^2-\textcolor{orange}{-8})}$
$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{(1) + 8}$
$x_{1/2} = 1\pm \sqrt{9}= 1 \pm 3$
$x_1= 4$
$x_2 = -2$
Daraus ergeben sich die Linearfaktoren:
$x-4$ und $x+2$
Die Quadratische Gleichung bzw. Funktion kann sowohl in der Normalform geschrieben werden als auch in der Produktform:
$2x^2-4x-16=0~~\leftrightarrow~~x^2-2x-8 = 0 ~~\leftrightarrow~~(x-4)\cdot (x+2)=0$
$f(x)=2x^2-4x-16~~\leftrightarrow~~f(x)=2\cdot (x-4)\cdot (x+2)$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Vorgehensweise - Linearfaktorzerlegung
Im Folgenden fassen wir nun nochmal kurz zusammen, wie du eine quadratische Gleichung in ihre Linearfaktoren zerlegen kannst. Die Vorgehensweise ist nicht schwer. Außerdem kannst du dein Ergebnis am Ende der Rechnung durch eine weitere einfache Rechnung überprüfen.
Methode
Methode
- Die Nullstellen der quadratischen Gleichung bestimmen.
- Die beiden Linearfaktoren notieren: $(x-x_1)$ und $(x-x_2)$
- Die Nullstellen in die Form $ (x-x_1)\cdot (x-x_2)$ einsetzen.
- Mache eine Probe: Löse die Multiplikation auf und du erhältst die anfangs gegebene Normalform der quadratischen Gleichung.
Anwendung der Linearfaktorzerlegung
Mithilfe der Linearfaktorzerlegung können wir die Normalform einer quadratischen Funktion aufstellen. Auch komplexe Brüche lassen sich mithilfe der Linearfaktorzerlegung kürzen.
Aufstellen der Normalform
Wenn wir die Nullstellen einer Funktion gegeben haben, können wir mithilfe der Linearfaktoren ganz einfach eine Funktionsgleichung aufstellen. Diese können wir dann in die Normalform überführen, indem wir die Klammern ausmultiplizieren.
Beispiel
Beispiel
Die Nullstellen der Funktion sind $-5$ und $1$.
Wir können die Funktionsgleichung mithilfe von Linearfaktoren schreiben:
$ (x-x_1)\cdot (x-x_2) $
$ f(x)=(x-(-5))\cdot (x-1) $
$ f(x)=(x+5)\cdot (x-1) $
Wenn wir die Funktionsgleichung nun in die Normalform überführen wollen, müssen wir lediglich die Klammern ausmultiplizieren (auflösen):
$f(x)= x\cdot x +x\cdot (-1) +5\cdot x +5\cdot (-1)$
$f(x)= x^2-x+5x-5$
$f(x)= x^2+4x-5$
Kürzen von Brüchen
Komplexe Brüche lassen sich mithilfe der Linearfaktorzerlegung vereinfachen.
Beispiel
Beispiel
Folgender Bruch ist gegeben:
$\large{\frac{x^2+4x-5}{x^2+x-2}}$
Bei diesem Bruch können wir nicht kürzen, da wir sowohl im Zähler als auch im Nenner jeweils eine Summe haben. ("In Summen kürzen nur die Dummen.") Daher zerlegen wir beide Funktionen in ihre Linearfaktoren.
Für den Zähler haben wir dies oben schon gemacht:
$x^2+4x-5~~~ \rightarrow~~~ (x+5)\cdot (x-1)$
Um die Nullstellen der unteren Funktion zu ermitteln, wenden wir bei dieser Aufgabe den Satz von Vieta an, da die Zahlenkombination sehr einfach ist. Die Aufgabe kann jedoch auch mit der p-q-Formel gelöst werden.
$1\cdot x^2+ \textcolor{red}{1}\cdot x\textcolor{blue}{-2}$
$x_1+x_2 = -\textcolor{red}{1}$
$x_1\cdot x_2 = \textcolor{blue}{-2}$
Durch Ausprobieren erhalten wir:
$x_1= 1$ und $x_2= -2$
Der Nenner lässt sich mithilfe von Linearfaktoren also auch so schreiben:
$(x-1)\cdot (x-(-2))~~\rightarrow~~(x-1)\cdot (x+2)$
Schreiben wir nun sowohl den Zähler des Bruches als auch den Nenner des Bruches in der Produktschreibweise, also mithilfe von Linearfaktoren, so können wir den Bruch nun kürzen, da nun ein Produkt vorliegt (und keine Summe mehr).
$\large{\frac{x^2+4x-6}{x^2+x-2} = \frac{(x+5)\cdot (x-1)}{(x-1)\cdot (x+2)}=\frac{(x+5)\cdot \cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}\cdot (x+2)}= \frac{x+5}{x+2}} $
Dank der Linearfaktorzerlegung haben wir den komplizierten Bruch vereinfacht.
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen zu der Linearfaktorzerlegung vertiefen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
Teste dein Wissen!
Wie kann der Bruch vereinfacht werden?
$\large{\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}}$
Zerlege folgende Gleichung $x^2-3x+2 = 0$ in ihre Linearfaktoren. Welche Produktform trifft zu?
Zerlege folgende Gleichung $x^2+4x-5 = 0$ in ihre Linearfaktoren. Welche Produktform trifft zu?
Wie kann die Funktion $f(x) = x^2+5x+4$ in die Produktform umgeformt werden? Kreuze das korrekte Ergebnis an.
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema


















Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
(kostenlos und jederzeit)