Binomische Formeln - was ist das?
Binomische Formeln vereinfachen dir das Rechnen mit komplizierten Termen der Mathematik, in denen, unter anderem, Klammern vorkommen. Alle binomischen Formeln ergeben sich aus den normalen Regeln zum Auflösen von Klammern in Gleichungen und sind somit nicht unbedingt notwendig, wenn man diese beherrscht. Allerdings erleichtern dir die binomischen Formeln das Rechnen und führen schneller zu einer Lösung.
Was sind Binome?
Binome leiten sich von den Polynomen ab. Polynome sind mathematische Ausdrücke, deren Glieder durch Addition und Subtraktion verbunden sind. Diese Glieder können selbst Produkte oder Ähnliches sein. Binome bezeichnen Polynome, die zwei Glieder besitzen. Entsprechend gibt es auch sogenannte Trinome, die drei Glieder besitzen und Monome, die nur aus einem Glied bestehen.
Beispiel
Beispiel
Monom
- $a$
- $3 \cdot a$
Binom
- $a+b$
- $(2 \cdot a) + (5 \cdot b)$
Trinom
- $a + b + c$
- $(2 \cdot a) + (5 \cdot b) + (7 \cdot c)$
Polynom
- $a + b + c + d + e ...$
- $(3 \cdot a) + (9\cdot b) + (5 \cdot c) + (2 \cdot d) + .....$
Merke
Merke
Binome sind zweigliedrige Polynome. Ihre allgemeine Form lautet:
$a + b$ oder $a - b$
Produkte von Binomen mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen
Häufig werden Binome miteinander multipliziert, was in der allgemeinen Form so aussieht:
- $(a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$
- $(a - b) \cdot (a - b) = (a - b)^2$
Um dieses Produkt aufzulösen, helfen dir die binomischen Formeln.
Methode
Methode
Mithilfe der binomischen Formeln kannst du Produkte aus Binomen umformen.
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1. Binomische Formel
Die erste binomische Formel hilft dir beim Auflösen eines Produkts zweier Binome, die mit einem Pluszeichen verknüpft sind, also einer Summe.
Merke
Merke
1. binomische Formel
$(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$
Beispiel
Beispiel
$(5 + x)^2 = 25 + 10 \cdot x + x^2$
2. Binomische Formel
Die zweite binomische Formel hilft dir beim Auflösen eines Produkts zweier Binome, die mit einem Minuszeichen verknüpft sind, also einer Differenz.
Merke
Merke
2. binomische Formel
$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
Beispiel
Beispiel
$(y - 4)^2 = y^2 - 8 \cdot y + 16$
3. Binomische Formel
Die dritte binomische Formel findet Anwendung, wenn eine binomische Summe mit einer binomischen Differenz multipliziert wird. Sie ist also eine Mischform aus der ersten und der zweiten binomischen Formel. Die dritte binomische Formel wird auch sehr oft rückwärts angewandt.
Merke
Merke
3. binomische Formel
$(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$
Beispiel
Beispiel
$(3 + x) \cdot (3 - x) = 9 - x^2$
$x^2 - 25 = (x + 5) \cdot (x - 5)$
Hier kannst du dir eine Übersichtsseite zu den binomischen Formeln herunterladen.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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