Pascalsches Dreieck und binomische Formeln

Pascalsches Dreieck: Form und Aussehen

Wie der Name bereits verrät, erscheint die Zahlenfolge eines Pascalschen Dreiecks in einer dreieckigen Form. Diese ergibt sich daraus, dass die Zeilen von oben nach unten gesehen immer länger werden. Die erste Zahlenreihe besteht nur aus einer einzelnen Zahl: der Eins. Pro Zeile kommt nun eine weitere Zahl zur Zahlenreihe hinzu, dabei stehen am Anfang und am Ende jeder Zeile jeweils Einsen. Die Zahlen, die zwischen den Einsen stehen, werden nach einem bestimmten System gebildet. Sie ergeben sich aus der Addition der beiden oberen Zahlen (s. Abbildung).

Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck lässt sich beliebig oft um weitere Zahlenreihen verlängern, es gibt theoretisch kein Ende.

Pascalsche Dreieck - Anwendung

Setze im Pascalschen Dreieck die fehlenden drei Zahlen ein.

Pascalsches Dreieck mit fehlenden Zahlen

Wir wissen, dass die Zahlen sich aus den Summen der beiden Zahlen ergeben, die links und rechts über dem Fragezeichen stehen. Wir rechnen für die fehlenden Zahlen also:

1. $3 + 1 = 4$

2. $3 + 3 = 6$

3. $3 + 1 = 4$

Pascalsches Dreieck und binomische Formeln

Das Pascalsche Dreieck und binomische Formeln stehen im Zusammenhang zueinander: denn das Pascalsche Dreieck hilft uns, Binome der folgenden Form auszumultiplizieren: $(a + b)^n$

Dabei entspricht $n$ der Nummer der Zeile im Pascalschen Dreieck, wobei man bei der Nummerierung nicht mit $1$, sondern mit $0$ beginnt.

$\textcolor{blue}{0}.~Zeile~~~~~\textcolor{red}{1}~~~~~~(a~+~b)^0 = 1$

$\textcolor{blue}{1}.~Zeile~~~~\textcolor{red}{1}~\textcolor{red}{1}~~~~(a~+~b)^1 = 1\cdot a + 1\cdot b$

$\textcolor{blue}{2}.~Zeile~~\textcolor{red}{1}~\textcolor{red}{2}~\textcolor{red}{1}~~~(a~+~b)^2 = 1\cdot a^2 + 2\cdot a \cdot b + 1\cdot b^2 $

In der zweiten Zeile erkennen wir die erste binomische Formel wieder. Die Koeffizienten der binomischen Formeln kannst du also direkt am Pascalschen Dreieck ablesen. Dies hilft dir vor allem bei Binomen, deren Exponent $n$ größer als $2$ ist.

Pascalsches Dreieck und binomische Formeln

Teste und überprüfe dein neu erlerntes Wissen zum Pascalschen Dreieck in unseren Übungen. Viel Erfolg dabei!