Suche
Kontakt

Zufallsexperimente: Münz- und Würfelwurf
Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Zufallsexperimente - Münz- & Würfelwurf! | Statistik verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten ist leicht zu lernen. Um die Mathematik hinter dem Zufall zu verstehen, beschäftigen wir uns mit zwei Beispielen: zum einen mit dem einmaligen Werfen einer Münze, zum anderen mit dem einmaligen Werfen eines Würfels.

Merke

Bei einfachen Zufallsexperimenten gilt:

$P(E)~=~\frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse}$

$P(E)$ steht für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $E$ eintritt.

Zufallsversuch: Münze werfen

Das Werfen einer Münze ist ein typisches Beispiel für einen Zufallsversuch. Andere Beispiele für Zufallsversuche sind zum Beispiel Glücksspiele oder die Seitenauswahl vor dem Fußballspiel. Der Münzwurf gilt jedoch als der einfachste echte Zufallsversuch. Die Münze landet so, dass entweder der Kopf oder die Zahl nach oben zeigt. Welche Seite nach oben zeigt, hängt vom Zufall ab. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ereignisse eintritt, liegt in beiden Fällen bei $50 \%$. Theoretisch ist es auch denkbar, dass die Münze auf der schmalen Kante landet. Dieses extrem unwahrscheinliche Ereignis lassen wir hier jedoch unbeachtet.

Eine 1 ? Münze von vorne und hinten
Die beiden Seiten einer 1 € Münze

Wir möchten untersuchen, wie wahrscheinlich das Ereignis ist, dass die Münze so auf dem Boden landet, dass die Zahl nach oben zeigt.

  • Ergebnismenge = {Kopf, Zahl}
  • Ereignismenge = {Zahl}

Wir betrachten also ein erwünschtes Ergebnis von insgesamt zwei möglichen Ergebnissen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt, errechnet sich wie folgt:

$P(E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse} = \frac {1}{2} = 0,5 ~~\widehat{=}~~50\%$

Das Gegenereignis $P (\overline {E})$ beträgt dann natürlich ebenfalls $50\%$.

$P (\overline {E}) = 1 - P (E) = 1 - \frac {1}{2} = \frac {1}{2} = 0,5 ~~\widehat{=}~~50 \%$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

Zufallsversuch: Würfel werfen

Ein normaler Würfel besitzt sechs Seiten mit sechs unterschiedlichen Zahlen. Da alle sechs Seiten gleich groß sind, besitzt jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden:

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse} = \frac {1}{6} \approx 0,1667 ~~\widehat{=} ~~16,67\%$

Wahrscheinlichkeiten bei einem sechsseitigen Würfel
Wahrscheinlichkeiten bei einem sechsseitigen Würfel

Ein Ereignis muss jedoch nicht aus nur einer Zahl bestehen. Betrachten wir das Ereignis "eine 2 oder eine 3 würfeln":

$P (2, 3) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse} = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$

Methode

Alternativer Lösungsweg

Du könntest natürlich auch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Seiten "2" und "3" addieren:

$P (2, 3) = \frac {1}{6} + \frac {1}{6} = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$

Zufallsversuche mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten

Es gibt auch Zufallsexperimente, bei denen nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind - der Ausgang des Experiments ist aber immer noch zufällig. Schauen wir uns dazu wieder einen sechsseitigen Würfel an.

Ein aufgeklappter, sechsseitiger Würfel.
Netz eines sechsseitigen Würfels

Wie du siehst, ist dies kein gewöhnlicher Würfel: die $2$ und die $3$ sind auf jeweils zwei Seiten, wohingegen die $4$ und die $5$ gar nicht vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeiten sind nun nicht mehr für alle Zahlen gleich. Betrachten wir das Ereignis "eine $2$ würfeln", müssen wir beachten, dass es nun zwei von insgesamt sechs Seiten gibt, die zu diesem Ereignis führen. Dasselbe gilt für das Ereignis "eine $3$ würfeln".

  • $P(1) = \frac {1}{6} \approx 0,1667 ~~\widehat{=}~~ 16,67\%$
  • $P(2) = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$
  • $P(3) = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$
  • $P(4) = \frac {0}{6} = 0 ~~\widehat{=}~~0\%$
  • $P(5) = \frac {0}{6} = 0 ~~\widehat{=}~~0\%$
  • $P(6) = \frac {1}{6} \approx 0,1667 ~~\widehat{=}~~16,67\%$

 

In den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen nun testen. Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Wie lautet das Gegenereignis?

$P(E) = 0,65~~\widehat{=}~~65\%$

Teste dein Wissen!

Bei einfachen Zufallsexperimenten gilt...

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem normalen, sechsseitigen Würfel eine Drei zu würfeln?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Es gibt auch Zufallsexperimente bei denen nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind - der Ausgang des Experiments ist aber immer noch … (Kreuze die richtige Antwort an.)

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
28.01.2025 , von Siham K.
Sehr gut
15.01.2025 , von Simone K.
Wir sind sehr zufrieden mit dem Studienkreis!
14.01.2025 , von Madlen M.
Meine Tochter geht sehr gerne hin, kurzfristig konnten wir noch eine zweite Stunde/Fach dazubuchen. Es wird sehr auf die Größe der Gruppe geachtet und das es von der Klassenstufe zusammenpasst. So kann es bleiben.

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7908