Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Zufallsexperimente: Münz- und Würfelwurf

Inhaltsverzeichnis:

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten ist leicht zu lernen. Um die Mathematik hinter dem Zufall zu verstehen, beschäftigen wir uns mit zwei Beispielen: zum einen mit dem einmaligen Werfen einer Münze, zum anderen mit dem einmaligen Werfen eines Würfels.

Merke

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Bei einfachen Zufallsexperimenten gilt:

$P(E)~=~\frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse}$

$P(E)$ steht für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $E$ eintritt.

Zufallsversuch: Münze werfen

Das Werfen einer Münze ist ein typisches Beispiel für einen Zufallsversuch. Andere Beispiele für Zufallsversuche sind zum Beispiel Glücksspiele oder die Seitenauswahl vor dem Fußballspiel. Der Münzwurf gilt jedoch als der einfachste echte Zufallsversuch. Die Münze landet so, dass entweder der Kopf oder die Zahl nach oben zeigt. Welche Seite nach oben zeigt, hängt vom Zufall ab. Die jeweilige Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ereignisse eintritt, liegt in beiden Fällen bei $50 \%$. Theoretisch ist es auch denkbar, dass die Münze auf der schmalen Kante landet. Dieses extrem unwahrscheinliche Ereignis lassen wir hier jedoch unbeachtet.

Eine 1 ? Münze von vorne und hinten
Die beiden Seiten einer 1 € Münze

Wir möchten untersuchen, wie wahrscheinlich das Ereignis ist, dass die Münze so auf dem Boden landet, dass die Zahl nach oben zeigt.

  • Ergebnismenge = {Kopf, Zahl}
  • Ereignismenge = {Zahl}

Wir betrachten also ein erwünschtes Ergebnis von insgesamt zwei möglichen Ergebnissen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt, errechnet sich wie folgt:

$P(E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse} = \frac {1}{2} = 0,5 ~~\widehat{=}~~50\%$

Das Gegenereignis $P (\overline {E})$ beträgt dann natürlich ebenfalls $50\%$.

$P (\overline {E}) = 1 - P (E) = 1 - \frac {1}{2} = \frac {1}{2} = 0,5 ~~\widehat{=}~~50 \%$

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Zufallsversuch: Würfel werfen

Ein normaler Würfel besitzt sechs Seiten mit sechs unterschiedlichen Zahlen. Da alle sechs Seiten gleich groß sind, besitzt jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden:

$P (E) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse} = \frac {1}{6} \approx 0,1667 ~~\widehat{=} ~~16,67\%$

Wahrscheinlichkeiten bei einem sechsseitigen Würfel
Wahrscheinlichkeiten bei einem sechsseitigen Würfel

Ein Ereignis muss jedoch nicht aus nur einer Zahl bestehen. Betrachten wir das Ereignis "eine 2 oder eine 3 würfeln":

$P (2, 3) = \frac {Anzahl\ der\ gewünschten\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ möglichen\ Ergebnisse} = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$

Methode

Methode

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Alternativer Lösungsweg

Du könntest natürlich auch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Seiten "2" und "3" addieren:

$P (2, 3) = \frac {1}{6} + \frac {1}{6} = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$

Zufallsversuche mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten

Es gibt auch Zufallsexperimente, bei denen nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind - der Ausgang des Experiments ist aber immer noch zufällig. Schauen wir uns dazu wieder einen sechsseitigen Würfel an.

Ein aufgeklappter, sechsseitiger Würfel.
Netz eines sechsseitigen Würfels

Wie du siehst, ist dies kein gewöhnlicher Würfel: die $2$ und die $3$ sind auf jeweils zwei Seiten, wohingegen die $4$ und die $5$ gar nicht vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeiten sind nun nicht mehr für alle Zahlen gleich. Betrachten wir das Ereignis "eine $2$ würfeln", müssen wir beachten, dass es nun zwei von insgesamt sechs Seiten gibt, die zu diesem Ereignis führen. Dasselbe gilt für das Ereignis "eine $3$ würfeln".

  • $P(1) = \frac {1}{6} \approx 0,1667 ~~\widehat{=}~~ 16,67\%$
  • $P(2) = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$
  • $P(3) = \frac {2}{6} = \frac {1}{3} \approx 0,3333 ~~\widehat{=}~~33,33\%$
  • $P(4) = \frac {0}{6} = 0 ~~\widehat{=}~~0\%$
  • $P(5) = \frac {0}{6} = 0 ~~\widehat{=}~~0\%$
  • $P(6) = \frac {1}{6} \approx 0,1667 ~~\widehat{=}~~16,67\%$

 

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Wie lautet das Gegenereignis?

$P(E) = 0,65~~\widehat{=}~~65\%$

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Bei einfachen Zufallsexperimenten gilt...

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem normalen, sechsseitigen Würfel eine Drei zu würfeln?

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Es gibt auch Zufallsexperimente bei denen nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind - der Ausgang des Experiments ist aber immer noch … (Kreuze die richtige Antwort an.)

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