In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der sogenannten Variation. Die Variation kommt aus dem Bereich der Kombinatorik und tritt in zwei Varianten auf: mit und ohne Wiederholung. In diesem Text geht es zunächst um Variationen ohne Wiederholung.
Was bedeutet Variation?
Die Variation gibt an, wie viele Möglichkeiten existieren, eine bestimme Auswahl an Objekten zu ordnen.
Beispiel
Die Variation hilft beim Lösen des folgenden Problems:
In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es?
Die Variation berücksichtigt also zwei Dinge: Zum einen gibt es verschiedene Möglichkeiten eine Auswahl zu treffen (vier Kugeln zu ziehen). Zum anderen kann diese Auswahl unterschiedlich geordnet werden.
Um die Variation zu berechnen, benötigen wir zwei Größen: Die Gesamtanzahl $n$ der Objekte und die Anzahl $k$ der Objekte, die ausgewählt wurden.
Der Unterschied zur Permutation ist also, dass wir die Ordnungsmöglichkeiten einer Auswahl berechnen und nicht der Gesamtmenge der Objekte.
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Variation ohne Wiederholung berechnen
Merke
Um die Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten einer Auswahl von $k$ Objekten von einer Gesamtanzahl an $n$ Objekten zu berechnen, benutzen wir folgende Formel:
$\Large {\frac{n!}{(n - k)!}}$
Gut zu wissen
Eine Variation ohne Wiederholung bedeutet, dass die ausgewählten Objekte $k$ nicht mehrfach auftauchen dürfen. Für den Fall, dass die Objekte mehrfach auftauchen, benötigen wir eine andere Rechnung.
Beispielaufgaben
Beispiel
In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Auswahl von vier Kugeln zu ordnen?
$\Large {\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1 \cdot 2} = \frac{720}{2} = 360}$
Es gibt insgesamt also $360$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.
Beispiel
Bei einem Autorennen nehmen $10$ Rennfahrer teil. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten für die ersten drei Platzierungen sind möglich?
$\Large {\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{3.628.800}{5040} = 720}$
Es gibt insgesamt $720$ Möglichkeiten für die Top 3-Platzierungen.
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Wofür steht das $k$ in der Formel für die Berechnung der Variation ohne Wiederholung?
$\Large {\frac{n!}{(n - k)!}}$
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