Kombinatorik: Formeln, Beispiele, Aufgaben
In Mathe in der Kombinatorik, einem Teilgebiet der Stochastik, geht es um die Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von Objekten.
Je nachdem, ob man unterschiedliche Anordnungen, Auswahlmöglichkeiten oder beides berechnen möchte, gibt es verschiedene Rechenoperationen. Um zu entscheiden, welche Berechnung man für eine bestimmte Aufgabe benötigt, hilft folgender Entscheidungsbaum:

Im Folgenden gehen wir die verschieden Berechnungsmöglichkeiten durch und zeigen dir die Varianten der Kombinatorik an verschiedenen Beispielen und Aufgaben.
1. Möglichkeit: Es wird keine Auswahl getroffen
Zunächst müssen wir uns fragen, ob in der Aufgabenstellung von einer Auswahl an Objekten die Rede ist oder die Gesamtmenge der Objekte gemeint ist (= keine Auswahl).
Wird keine Auswahl getroffen, so berechnen wir die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten der Objekte mithilfe der Permutation. Dabei unterschiedet man eine Menge an Objekten, die alle unterscheidbar sind (= Permutation ohne Wiederholung) und eine Menge an Objekten, die teilweise nicht voneinander zu unterscheiden sind (= Permutation mit Wiederholung).
Permutation ohne Wiederholung
Merke
Merke
Um die Anzahl verschiedener Kombinationsmöglichkeiten von $n$ unterscheidbaren Objekten zu berechnen, rechnet man:
$\Large{n!}$
Beispiel
Beispiel
In einer Urne befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
$n~=~6$
$n!~=~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6~=~720$
Es gibt insgesamt 720 Möglichkeiten.
Permutation mit Wiederholung
Merke
Merke
Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten von $n$ Objekten, von denen $k$ Objekte identisch sind, berechnet sich durch:
$\Large{\frac{n!}{k!}}$
Sind mehrere Objekte identisch, gilt:
$\Large{\frac{n!}{k_1! \cdot k_2!...}}$
Beispiel
Beispiel
In einer Urne befinden sich drei grüne und zwei gelbe Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe zu ordnen?
$\Large{\frac{n!}{k!}~=~\frac{5!}{3! \cdot 2!}~=~\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1\cdot 2 \cdot 3) \cdot (1\cdot 2)}~=~\frac{120}{12}~=~10}$
Es gibt $10$ Möglichkeiten.
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
2. Möglichkeit: Es wird eine Auswahl getroffen
Wird eine Auswahl von Objekten aus einer Gesamtmenge getroffen, berechnen wir die Kombination oder die Variation. Die Permutation hilft uns in diesem Fall nicht weiter.
Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen.
Die Variation gibt an, wie viele Möglichkeiten existieren, eine bestimme Auswahl an Objekten zu ordnen. Die Variation berücksichtigt also zwei Dinge: Zum einen gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Auswahl zu treffen. Zum anderen kann diese Auswahl unterschiedlich geordnet werden.
Kombination ohne Wiederholung
Merke
Merke
Um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Objekte aus einer Gesamtmenge von $n$ Objekten auszuwählen, rechnet man:
$\Large{\binom{n}{k}}$
Gesprochen: "n über k" oder "k aus n"
Beispiel
Beispiel
Beim Lotto werden sechs Zahlen aus insgesamt $49$ gewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Du kannst die Kombinationen so berechnen:
Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~6$
Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~49$
Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n}{k}~=~ \binom{49}{6}}~=~13.983.816$
Es existieren 13.983.816 (fast 14 Millionen) Auswahlmöglichkeiten.
Kombination mit Wiederholung
Merke
Merke
Um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt $k$ Objekte aus einer Gesamtmenge von $n$ Objekten auszuwählen, wobei die Objekte mehrmals ausgewählt werden dürfen, rechnet man:
$\Large{\binom{n + k - 1}{k}}$
Beispiel
Beispiel
In einem Gefäß befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Es werden drei der Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel nach jedem Zug wieder zurückgelegt wird (= mit Wiederholung).
Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~3$
Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~6$
Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n + k - 1}{k}~=~ \binom{6 + 3 - 1}{3}~=~ \binom{8}{3}}~=~56$
Es existieren 56 Auswahlmöglichkeiten.
Variation ohne Wiederholung
Merke
Merke
Um die Anzahl von Kombinationsmöglichkeiten einer Auswahl von $k$ Objekten von einer Gesamtanzahl an $n$ Objekten zu berechnen, benutzen wir folgende Formel:
$\Large {\frac{n!}{(n - k)!}}$
Beispiel
Beispiel
In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Auswahl von vier Kugeln zu ordnen?
$\Large {\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1 \dot 2} = \frac{720}{2} = 360}$
Es gibt insgesamt also $360$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.
Variation mit Wiederholung
Merke
Merke
Um die Variation mit Wiederholung einer Auswahl von $k$ Objekten von einer Gesamtzahl an $n$ Objekten zu berechnen, benötigt man diese Formel:
$\Large{n^k}$
Beispiel
Beispiel
In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel zurück in die Urne gelegt. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es? Berechne die Kombinationen.
Anzahl $n$ aller Objekte: $6$
Anzahl $k$ der ausgewählten Objekte: $4$
$\Large{n^k = 6^4 = 1296}$
Es gibt insgesamt also $1296$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.
Nun kennst du in der Kombinatorik alle Formeln und kannst die Permutation, Kombination und Variation berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Kombinatorik mit unseren Übungsaufgaben zur Kombinatorik!
Teste dein Wissen!
Worin liegt der Unterschied zwischen Variation und Permutation?
In einer Kiste befinden sich vier verschiedenfarbige Kugeln, von denen zwei Kugeln gezogen werden. Nach dem Ziehen wird die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne gelegt. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es?
In einer Urne befinden sich sieben Kugeln, aus denen drei ausgewählt werden sollen. Wie viele Möglichkeiten existieren, drei Kugeln aus sieben auszuwählen?
In einer Urne befinden sich zehn Kugeln, von denen drei rot und drei gelb sind. Die anderen Kugeln sind verschiedenfarbig. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Kugeln in einer Reihe zu ordnen?
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema




















Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen