Kombinatorik: Formeln, Beispiele, Aufgaben

Beim Lotto werden sechs Zahlen aus insgesamt $49$ gewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Du kannst die Kombinationen so berechnen:

Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~6$

Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~49$

Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n}{k}~=~ \binom{49}{6}}~=~13.983.816$

Es existieren 13.983.816 (fast 14 Millionen) Auswahlmöglichkeiten.

In einem Gefäß befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Es werden drei der Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel nach jedem Zug wieder zurückgelegt wird (= mit Wiederholung).

Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~3$

Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~6$

Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n + k - 1}{k}~=~ \binom{6 + 3 - 1}{3}~=~ \binom{8}{3}}~=~56$

Es existieren 56 Auswahlmöglichkeiten.

In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Auswahl von vier Kugeln zu ordnen?

$\Large {\frac{n!}{(n - k)!} = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1 \dot 2} = \frac{720}{2} = 360}$

Es gibt insgesamt also $360$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.

In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel zurück in die Urne gelegt. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es? Berechne die Kombinationen.

Anzahl $n$ aller Objekte: $6$

Anzahl $k$ der ausgewählten Objekte: $4$

$\Large{n^k = 6^4 = 1296}$

Es gibt insgesamt also $1296$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.