Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Kombination ohne Wiederholung - Übungen und Beispiele

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Kombination. Die Kombination kommt aus dem Bereich der Kombinatorik und tritt in zwei Varianten auf: mit und ohne Wiederholung. In diesem Text geht es um die Kombination ohne Wiederholung

Was bedeutet Kombination?

Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen. 

Beispiel

Beispiel

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Die Kombination hilft beim Lösen des folgenden Problems:

Aus einer Schülergruppe von insgesamt 30 Schülern, sollen vier Personen ausgewählt werden. Wie viele mögliche 4er-Gruppen können ausgewählt werden?

Die Kombination beachtet also nur die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten für vier Schüler aus einer Gruppe von 30 Personen. Sie beachtet nicht etwa die Reihenfolge, in der man die ausgewählten Schüler ordnen könnte. 

Um die Kombination zu berechnen, benötigen wir zwei Größen: Die Gesamtanzahl $n$ der Objekte und die Anzahl $k$ der Objekte, die ausgewählt wurden.

Gut zu wissen

Hinweis

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Die Kombination steht in einem Zusammenhang zur Variation. Die Variation beachtet, genauso wie die Kombination, die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten. Darüber hinaus beachtet die Variation aber auch die verschiedenen Reihenfolgen, in der man die ausgewählten Objekte ordnen könnte. Dies beachtet die Kombination nicht

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Kombination ohne Wiederholung

Wie schon bei der Variation bedeutet eine Kombination ohne Wiederholung, dass jedes der Objekte nur einmal ausgewählt werden darf. 

Zur Berechnung der Kombination benötigen wir nicht etwa die Fakultät, sondern lösen den Term als Binomialkoeffizient. 

Merke

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Kombination ohne Wiederholung

Um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Objekte aus einer Gesamtmenge von $n$ Objekten auszuwählen, rechnet man:

$\Large{\binom{n}{k}}$

gesprochen: "n über k"  oder  "k aus n"

Methode

Methode

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Wie rechnet man Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner aus?

Beispiel: $\Large{\binom{5}{3}~=~10}$

Um solche Terme zu berechnen, benötigst du die nCr - Taste. Um den Beispielterm auszurechnen, gibst du Folgendes in den Taschenrechner ein:

Eingabe: $~~5~~$ [nCr] $~~3~~$ [=]

Beispielaufgaben

Beispiel

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Aus einer Schülergruppe von insgesamt 30 Schüler und Schülerinnen, sollen vier Personen ausgewählt werden. Wie viele mögliche 4er-Gruppen können ausgewählt werden?

Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~4$

Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~30$

Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n}{k}~=~ \binom{30}{4}}~=~27.405$

Man kann 27.405 mögliche 4er-Gruppen aus der Schülergruppe auswählen. 

Beispiel

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Beim Lotto werden sechs Zahlen aus insgesamt $49$ gewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~6$

Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~49$

Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n}{k}~=~ \binom{49}{6}}~=~13.983.816$

Es existieren 13.983.816 (fast 14 Millionen) Auswahlmöglichkeiten. 

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Übungsaufgaben

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Mit welcher Formel lässt sich die Kombination (ohne Wiederholung) berechnen?

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Beim italienischen Lotto werden sechs Zahlen aus insgesamt $90$ gezogen. Wie viele Auswahlmöglichkeiten existieren?

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Berechne den Binomialkoeffizienten $\Large{\binom{12}{9}~=}$ . Markiere die richtige Lösung!

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In einer Urne befinden sich sieben Kugeln, aus denen drei ausgewählt werden sollen. Wie viele Möglichkeiten existieren, drei Kugeln aus sieben auszuwählen?

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Klappt super
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Bin zufrieden.
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Ich finde meinen Lehrer sehr gut aber wenn ich mal was ändern möchte kann ich keinen bei der online Nachhilfe erreichen per Telefon. Auch beim Rückruf dauert es sehr sehr lange bis man zurück gerufen wird. Ich würde mir auch bei Studenten, Langzeit Tarife wünschen die billiger sind weil man hat als Student nicht so viel Geld. Aber insgesamt bin ich ganz zufrieden. Mechanik wäre noch gut als Fach.
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