In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Kombination. Die Kombination kommt aus dem Bereich der Kombinatorik und tritt in zwei Varianten auf: mit und ohne Wiederholung. In diesem Text geht es um die Kombination ohne Wiederholung.
Was bedeutet Kombination?
Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen.
Beispiel
Die Kombination hilft beim Lösen des folgenden Problems:
Aus einer Schülergruppe von insgesamt 30 Schülern, sollen vier Personen ausgewählt werden. Wie viele mögliche 4er-Gruppen können ausgewählt werden?
Die Kombination beachtet also nur die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten für vier Schüler aus einer Gruppe von 30 Personen. Sie beachtet nicht etwa die Reihenfolge, in der man die ausgewählten Schüler ordnen könnte.
Um die Kombination zu berechnen, benötigen wir zwei Größen: Die Gesamtanzahl $n$ der Objekte und die Anzahl $k$ der Objekte, die ausgewählt wurden.
Gut zu wissen
Die Kombination steht in einem Zusammenhang zur Variation. Die Variation beachtet, genauso wie die Kombination, die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten. Darüber hinaus beachtet die Variation aber auch die verschiedenen Reihenfolgen, in der man die ausgewählten Objekte ordnen könnte. Dies beachtet die Kombination nicht.
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Kombination ohne Wiederholung
Wie schon bei der Variation bedeutet eine Kombination ohne Wiederholung, dass jedes der Objekte nur einmal ausgewählt werden darf.
Zur Berechnung der Kombination benötigen wir nicht etwa die Fakultät, sondern lösen den Term als Binomialkoeffizient.
Merke
Kombination ohne Wiederholung
Um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Objekte aus einer Gesamtmenge von $n$ Objekten auszuwählen, rechnet man:
$\Large{\binom{n}{k}}$
gesprochen: "n über k" oder "k aus n"
Methode
Wie rechnet man Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner aus?
Beispiel: $\Large{\binom{5}{3}~=~10}$
Um solche Terme zu berechnen, benötigst du die nCr - Taste. Um den Beispielterm auszurechnen, gibst du Folgendes in den Taschenrechner ein:
Eingabe: $~~5~~$ [nCr] $~~3~~$ [=]
Beispielaufgaben
Beispiel
Aus einer Schülergruppe von insgesamt 30 Schüler und Schülerinnen, sollen vier Personen ausgewählt werden. Wie viele mögliche 4er-Gruppen können ausgewählt werden?
Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~4$
Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~30$
Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n}{k}~=~ \binom{30}{4}}~=~27.405$
Man kann 27.405 mögliche 4er-Gruppen aus der Schülergruppe auswählen.
Beispiel
Beim Lotto werden sechs Zahlen aus insgesamt $49$ gewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~6$
Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~49$
Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n}{k}~=~ \binom{49}{6}}~=~13.983.816$
Es existieren 13.983.816 (fast 14 Millionen) Auswahlmöglichkeiten.
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