Variation mit Wiederholung - Aufgaben und Beispiele
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit einem Bereich der Kombinatorik: der Variation. Sie tritt in zwei Varianten auf: mit und ohne Wiederholung. In diesem Text geht es um Variationen mit Wiederholung.
Was bedeutet Variation?
Die Variation gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimme Auswahl an Objekten zu ordnen.
Beispiel
Beispiel
Die Variation hilft beim Lösen des folgenden Problems:
In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es?
Die Variation berücksichtigt also zwei Dinge: Zum einen gibt es verschiedene Möglichkeiten eine Auswahl zu treffen (vier Kugeln zu ziehen). Zum anderen kann diese Auswahl unterschiedlich geordnet werden.
Um die Variation zu berechnen, benötigen wir zwei Größen: Die Gesamtanzahl $n$ der Objekte und die Anzahl $k$ der Objekte, die ausgewählt wurden.
Der Unterschied zur Permutation ist also, dass wir die Ordnungsmöglichkeiten einer Auswahl berechnen und nicht die Gesamtmenge der Objekte.
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Variation mit Wiederholung
Wir haben es mit einer Variation mit Wiederholung zu tun, wenn die einzelnen Objekte mehrfach in der Auswahl vorkommen können.
Beispiel
Beispiel
In unserem Beispiel könnte das bedeuten, dass die verschiedenfarbigen Kugeln nach jedem Ziehen zurückgelegt werden. So ist es möglich, dass eine Kugel derselben Farbe mehrmals gezogen wird.
Merke
Merke
Um die Variation mit Wiederholung einer Auswahl von $k$ Objekten von einer Gesamtzahl an $n$ Objekten zu berechnen, benötigt man diese Formel:
$\Large{n^k}$
Beispielaufgabe
Beispiel
Beispiel
In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel zurück in die Urne gelegt. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es?
Anzahl $n$ aller Objekte: $6$
Anzahl $k$ der ausgewählten Objekte: $4$
$\Large{n^k = 6^4 = 1296}$
Es gibt insgesamt also $1296$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen.
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