Kombination mit Wiederholung - Übungen und Beispiele
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Kombination. Die Kombination kommt aus dem Bereich der Kombinatorik und tritt in zwei Varianten auf: mit und ohne Wiederholung. In diesem Text geht es um die Kombination ohne Wiederholung.
Was bedeutet Kombination?
Die Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine bestimmte Menge an Objekten aus einer größeren Gesamtmenge auszuwählen.
Beispiel
Die Kombination hilft beim Lösen folgenden Problems:
Aus einer Schülergruppe von insgesamt 30 Schüler und Schülerinnen sollen vier Personen ausgewählt werden. Wie viele mögliche 4er-Gruppen können ausgewählt werden?
Bei der Kombination werden die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten für vier Schüler aus einer Gruppe von 30 beachtet. Was bei der Kombination nicht berücksichtigt wird, ist die Reihenfolge, in der man die ausgewählten Schüler ordnen könnte.
Um die Kombination zu berechnen, benötigen wir zwei Größen: Die Gesamtanzahl $n$ der Objekte und die Anzahl $k$ der Objekte, die ausgewählt wurden.
Gut zu wissen
Es besteht eine Ähnlichkeit zwischen Kombination und Variation. Genauso wie die Kombination, beachtet die Variation die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten. Zusätzlich berechnet man mithilfe der Variation auch noch die verschiedenen Möglichkeiten, die ausgewählten Objekte zu ordnen. Dies beachtet die Kombination nicht.
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Kombination mit Wiederholung
Kombination mit Wiederholung bedeutet, dass Objekte mehrfach ausgewählt werden können.
Zur Berechnung der Kombination lösen den Term als Binomialkoeffizient.
Merke
Kombination mit Wiederholung
Um die Anzahl der Möglichkeiten auszurechnen, $k$ Objekte aus einer Gesamtmenge von $n$ Objekten auswählen, wobei die Objekte mehrmals ausgewählt werden dürfen, rechnet man:
$\Large{\binom{n + k - 1}{k}}$
Methode
Wie rechnet man Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner aus?
Beispiel: $\Large{\binom{5}{3}~=~10}$
Um solche Terme zu berechnen, benötigst du die nCr - Taste. Um den Beispielterm auszurechnen, gibst du folgendes in den Taschenrechner ein:
Eingabe: $~~5~~$ [nCr] $~~3~~$ [=]
Beispielaufgabe
Beispiel
In einem Gefäß befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Es werden drei der Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel nach jedem Zug wieder zurückgelegt wird (= mit Wiederholung).
Anzahl der ausgewählten Objekte $k~=~3$
Anzahl der Gesamtmenge an Objekten $n~=~6$
Berechnung der Kombination: $\Large{\binom{n + k - 1}{k}~=~ \binom{6 + 3 - 1}{3}~=~ \binom{8}{3}}~=~56$
Es existieren 56 Auswahlmöglichkeiten.
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In einem Gefäß befinden sich elf verschiedenfarbige Kugeln. Es werden vier der Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel nach jedem Zug wieder zurückgelegt wird.
Berechne den Binomialkoeffizienten $\Large{\binom{19}{5}~=~}$ und markiere die richtige Lösung.
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