Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Inhaltsverzeichnis:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment kann von einem anderen Ereignis unabhängig oder abhängig sein. Schauen wir uns diese beiden Möglichkeiten im Folgenden etwas genauer an. 

Unabhängige Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Wir ziehen zweimal hintereinander eine Kugel aus einer Urne mit vier grünen und sechs lila Kugeln. Nach jedem Zug legen wir die gezogene Kugel zurück in die Urne.

Urne mit 10 Kugeln.
Urne mit 10 Kugeln

Die Wahrscheinlichkeiten, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, lassen sich leicht berechnen:

  • $P (grün) = \frac{4}{10} = 0,4 ~~\widehat{=}~~40 \%$
  • $P (lila) = \frac{6}{10} = 0,6 ~~\widehat{=}~~60 \%$

Da die gezogene Kugel nach dem ersten Zug wieder zurück in die Urne gelegt wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten vor dem 2. Zug nicht.

Baumdiagramm MIT Zurücklegen der Kugel.
Baumdiagramm MIT Zurücklegen

Bei Zufallsexperimenten mit dem Urnenmodell bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert, wenn die Kugeln nach dem Ziehen wieder zurück in die Urne gelegt werden. 

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Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht verändert.

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Abhängige Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Wir betrachten nochmal unsere Urne mit den vier grünen und den sechs lila Kugeln. Auch dieses Mal ziehen wir zweimal hintereinander, aber: wir legen die Kugel nach dem ersten Zug nicht zurück in die Urne.

Die Wahrscheinlichkeiten vor dem ersten Zug sind dieselben wie oben:

1. Zug

  • $P (grün) = \frac{4}{10} = 0,4 ~~\widehat{=}~~40 \%$
  • $P (lila) = \frac{6}{10} = 0,6 ~~\widehat{=}~~60 \%$

Beim zweiten Zug ändern sich allerdings die Bedingungen: Wenn wir die erste Kugel nach dem ersten Zug nicht wieder zurück in die Urne legen, ändert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne und somit auch der relative Anteil ( = $\frac{Anzahl~an~Kugeln~einer~bestimmten~Farbe}{Anzahl~aller~Kugeln}$).

Die Anzahl an grünen und lila Kugeln ändert sich in Abhängigkeit des Ergebnisses des ersten Zuges.

Beispiel

Beispiel

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Wir ziehen im ersten Zug eine lila Kugel.

Eine lila Kugeln wird im ersten Zug gezogen.
Eine lila Kugel wird im ersten Zug gezogen.

Vor dem zweiten Zug sind die Wahrscheinlichkeiten also wie folgt:

  • $P (grün) = \frac{4}{9} \approx 0,4444 ~~\widehat{=}~~44,44 \%$
  • $P (lila) = \frac{5}{9} \approx 0,5556 ~~\widehat{=}~~55,56 \%$

Die Wahrscheinlichkeiten vor dem 2. Zug hängen also von dem Ergebnis des 1. Zuges ab. Dementsprechend ändern sich auch die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumdiagrammes.

Baumdiagramm OHNE Zurücklegen der Kugel.
Baumdiagramm OHNE Zurücklegen

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Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst.

Bei Zufallsexperimenten mit stochastischer Abhängigkeit ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Durchgang.

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