Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment kann von einem anderen Ereignis unabhängig oder abhängig sein. Schauen wir uns diese beiden Möglichkeiten im Folgenden etwas genauer an.
Unabhängige Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Wir ziehen zweimal hintereinander eine Kugel aus einer Urne mit vier grünen und sechs lila Kugeln. Nach jedem Zug legen wir die gezogene Kugel zurück in die Urne.
Die Wahrscheinlichkeiten, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, lassen sich leicht berechnen:
- $P (grün) = \frac{4}{10} = 0,4 ~~\widehat{=}~~40 \%$
- $P (lila) = \frac{6}{10} = 0,6 ~~\widehat{=}~~60 \%$
Da die gezogene Kugel nach dem ersten Zug wieder zurück in die Urne gelegt wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten vor dem 2. Zug nicht.
Bei Zufallsexperimenten mit dem Urnenmodell bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert, wenn die Kugeln nach dem Ziehen wieder zurück in die Urne gelegt werden.
Merke
Merke
Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht verändert.
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Abhängige Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Wir betrachten nochmal unsere Urne mit den vier grünen und den sechs lila Kugeln. Auch dieses Mal ziehen wir zweimal hintereinander, aber: wir legen die Kugel nach dem ersten Zug nicht zurück in die Urne.
Die Wahrscheinlichkeiten vor dem ersten Zug sind dieselben wie oben:
1. Zug
- $P (grün) = \frac{4}{10} = 0,4 ~~\widehat{=}~~40 \%$
- $P (lila) = \frac{6}{10} = 0,6 ~~\widehat{=}~~60 \%$
Beim zweiten Zug ändern sich allerdings die Bedingungen: Wenn wir die erste Kugel nach dem ersten Zug nicht wieder zurück in die Urne legen, ändert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne und somit auch der relative Anteil ( = $\frac{Anzahl~an~Kugeln~einer~bestimmten~Farbe}{Anzahl~aller~Kugeln}$).
Die Anzahl an grünen und lila Kugeln ändert sich in Abhängigkeit des Ergebnisses des ersten Zuges.
Beispiel
Beispiel
Wir ziehen im ersten Zug eine lila Kugel.
Vor dem zweiten Zug sind die Wahrscheinlichkeiten also wie folgt:
- $P (grün) = \frac{4}{9} \approx 0,4444 ~~\widehat{=}~~44,44 \%$
- $P (lila) = \frac{5}{9} \approx 0,5556 ~~\widehat{=}~~55,56 \%$
Die Wahrscheinlichkeiten vor dem 2. Zug hängen also von dem Ergebnis des 1. Zuges ab. Dementsprechend ändern sich auch die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumdiagrammes.
Merke
Merke
Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst.
Bei Zufallsexperimenten mit stochastischer Abhängigkeit ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Durchgang.
Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Welche Ereignisse sind bei zwei Durchläufen stochastisch unabhängig voneinander?
Bei abhängigen Ereignissen gilt...
Bei unabhängigen Ereignissen gilt ...
Welche Aussage ist korrekt?
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen