Suche
Kontakt
>
Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Stochastische Abhängigkeit und Unabhängigkeit! | Statistik verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment kann von einem anderen Ereignis unabhängig oder abhängig sein. Schauen wir uns diese beiden Möglichkeiten im Folgenden etwas genauer an. 

Unabhängige Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Wir ziehen zweimal hintereinander eine Kugel aus einer Urne mit vier grünen und sechs lila Kugeln. Nach jedem Zug legen wir die gezogene Kugel zurück in die Urne.

Urne mit 10 Kugeln.
Urne mit 10 Kugeln

Die Wahrscheinlichkeiten, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen, lassen sich leicht berechnen:

  • $P (grün) = \frac{4}{10} = 0,4 ~~\widehat{=}~~40 \%$
  • $P (lila) = \frac{6}{10} = 0,6 ~~\widehat{=}~~60 \%$

Da die gezogene Kugel nach dem ersten Zug wieder zurück in die Urne gelegt wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten vor dem 2. Zug nicht.

Baumdiagramm MIT Zurücklegen der Kugel.
Baumdiagramm MIT Zurücklegen

Bei Zufallsexperimenten mit dem Urnenmodell bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert, wenn die Kugeln nach dem Ziehen wieder zurück in die Urne gelegt werden. 

Merke

Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht verändert.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Abhängige Ereignisse bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Wir betrachten nochmal unsere Urne mit den vier grünen und den sechs lila Kugeln. Auch dieses Mal ziehen wir zweimal hintereinander, aber: wir legen die Kugel nach dem ersten Zug nicht zurück in die Urne.

Die Wahrscheinlichkeiten vor dem ersten Zug sind dieselben wie oben:

1. Zug

  • $P (grün) = \frac{4}{10} = 0,4 ~~\widehat{=}~~40 \%$
  • $P (lila) = \frac{6}{10} = 0,6 ~~\widehat{=}~~60 \%$

Beim zweiten Zug ändern sich allerdings die Bedingungen: Wenn wir die erste Kugel nach dem ersten Zug nicht wieder zurück in die Urne legen, ändert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne und somit auch der relative Anteil ( = $\frac{Anzahl~an~Kugeln~einer~bestimmten~Farbe}{Anzahl~aller~Kugeln}$).

Die Anzahl an grünen und lila Kugeln ändert sich in Abhängigkeit des Ergebnisses des ersten Zuges.

Beispiel

Wir ziehen im ersten Zug eine lila Kugel.

Eine lila Kugeln wird im ersten Zug gezogen.
Eine lila Kugel wird im ersten Zug gezogen.

Vor dem zweiten Zug sind die Wahrscheinlichkeiten also wie folgt:

  • $P (grün) = \frac{4}{9} \approx 0,4444 ~~\widehat{=}~~44,44 \%$
  • $P (lila) = \frac{5}{9} \approx 0,5556 ~~\widehat{=}~~55,56 \%$

Die Wahrscheinlichkeiten vor dem 2. Zug hängen also von dem Ergebnis des 1. Zuges ab. Dementsprechend ändern sich auch die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumdiagrammes.

Baumdiagramm OHNE Zurücklegen der Kugel.
Baumdiagramm OHNE Zurücklegen

Merke

Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst.

Bei Zufallsexperimenten mit stochastischer Abhängigkeit ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Durchgang.

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Welche Ereignisse sind bei zwei Durchläufen stochastisch unabhängig voneinander?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Teste dein Wissen!

Bei abhängigen Ereignissen gilt...

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Bei unabhängigen Ereignissen gilt ...

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Welche Aussage ist korrekt?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

16.02.2024 , von Jivitha U.
Alles besser geworden
15.02.2024
Sehr zufrieden
14.02.2024 , von Anne L.
Es wird in kleinen Gruppen gelernt, sodass auf die einzelnen Schüler eingegangen werden kann. Die Nachhilfelehrer sind motiviert und mit Geduld dabei. Die Nachhilfe findet in angenehmer Atmosphäre statt. Innerhalb weniger Wochen konnte der Unterrichtsstoff aufgearbeitet werden und die nächsten Noten haben den Erfolg nochmal deutlich gezeigt. Ich würde die Studienkreis Nachhilfe jedem weiterempfehlen.
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7906