Baumdiagramme erstellen und verstehen

Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik
Baumdiagramme erstellen und verstehen! | Statistik verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

Um beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten einen guten Überblick zu behalten, legen wir sogenannte Baumdiagramme an. Aus einem Baumdiagramm kannst du die unterschiedlichen Ausgänge, und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, eines Zufallsexperimentes ablesen. Der große Vorteil solcher Baumdiagramme ist, dass du auch mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen kannst.

Betrachten wir zwei Baumdiagramme für die Versuche "einmaliges bzw. zweimaliges Werfen einer Münze."

links: einmaliges Werfen einer Münze / rechts: zweimaliges Werfen einer Münze
links: einmaliges Werfen einer Münze / rechts: zweimaliges Werfen einer Münze

Wie du siehst, stehen am Ende der Linien (auch Äste genannt) die beiden möglichen Ereignisse (Kopf, Zahl). An den Ästen steht jeweils die zu dem Ereignis gehörende Wahrscheinlichkeit in der Dezimalschreibweise (in diesem Fall immer 0,5). Nachdem du die Münze einmal geworfen hast, besteht beim zweiten Wurf wieder eine jeweils 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl oben liegt. Man schreibt diese zwei neuen Möglichkeiten jeweils an die beiden möglichen Ereignisse des ersten Wurfs.

Merke

Mit Hilfe eines Baumdiagramms kannst du ein- oder mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

Erstellen komplexer Baumdiagramme

Bei einem Münzwurf sind die Wahrscheinlichkeiten sehr einfach verteilt, sodass ein Baumdiagramm nicht unbedingt notwendig ist. Bei einer komplexeren Verteilung der Wahrscheinlichkeiten hilft uns das Baumdiagramm jedoch den Sachverhalt gut und übersichtlich darzustellen - und dank zwei kleiner Regeln können wir mit Hilfe des Baumdiagramms sogar rechnen.

Schauen wir uns dazu dieses Glücksrad an:

Glücksrad
Glücksrad

Der Pfeil kann nach dem Drehen des Rades entweder auf Rot, Grün oder Blau zeigen. Die Wahrscheinlichkeiten dieser drei Ereignisse sind jedoch nicht gleich groß. So ist es zum Beispiel am wahrscheinlichsten, dass der Pfeil auf einem grünen Feld stehen bleibt, denn es gibt mehr grüne Felder als rote bzw. blaue Felder.

Wie sieht das Baumdiagramm aus, wenn du das Glücksrad zweimal hintereinander drehst?

Baudiagramm für das zweimalige Drehen des Glücksrades
Baudiagramm für das zweimalige Drehen des Glücksrades

Die Wahrscheinlichkeiten für die Farben ergeben sich aus den relativen Anteilen:

  • grün: fünf von zehn Feldern = $\frac {5}{10} = 0,5$
  • rot: drei von zehn Feldern = $\frac{3}{10} = 0,3$
  • blau: zwei von zehn Feldern = $\frac{2}{10} = 0,2$

Auf der rechten Seite, also am Ende des Baumdiagramms, stehen die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten (Ereignisse), die sich beim zweimaligen Drehen des Glücksrades ergeben. Addieren wir alle Wahrscheinlichkeiten, erhalten wir 100 %. Außerdem ergeben alle Wahrscheinlichkeiten, die auf den Ästen einer Spalte stehen, zusammen immer eins. Doch wie kommt man überhaupt auf diese Wahrscheinlichkeiten?

Merke

Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich sehr übersichtlich mit Hilfe eines Baumdiagramms darstellen. Alle möglichen Ergebnisse werden mit jeweils einem Pfad im Baumdiagramm dargestellt. Bei einem vollständigen Baumdiagramm kannst du die Kontrolle machen: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einer Spalte muss immer 1 ergeben.

Die Produktregel

Betrachten wir als Beispiel die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass das Glücksrad im ersten Versuch bei Grün und im zweiten Versuch bei Blau stehen bleibt. Es handelt sich hier um ein Elementarereignis, also um ein Ereignis, das aus nur einem Ergebnis besteht. Wir gucken uns nun lediglich den Teil des Baumdiagramms an, der dieses Ereignis beschreibt. Den Weg, den man verfolgen muss um ein Ereignis zu beschreiben, nennt man Pfad.

Ausschnitt des Baumdiagramms
Ausschnitt des Baumdiagramms

Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "grünes Feld, blaues Feld" zu berechnen, musst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.

$P (\textcolor{green}{G} \textcolor{blue}{B}) = P(\textcolor{green}{G}) \cdot P(\textcolor{blue}{B})$

$P (\textcolor{green}{G} \textcolor{blue}{B}) = \textcolor{green}{0,5} \cdot \textcolor{blue}{0,2} = 0,1~~\widehat{=}~~10 \%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad nach dem ersten Drehen auf einem grünen Feld und nach dem zweiten Drehen auf einem blauen Feld stoppt, beträgt 10 %.

Die Wahrscheinlichkeiten aller anderen Kombinationsmöglichkeiten (Ereignisse) lassen sich analog berechnen. Probiere es selber aus! Du kannst deine Lösungen dann mit den Wahrscheinlichkeiten in der Grafik oben vergleichen.

Merke

Produktregel

Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ereignis führt, miteinander multiplizierst.

Die Summenregel

Mit Hilfe des Baumdiagramms kannst du aber nicht nur die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (bzw. Elementarereignisses) berechnen, sondern auch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Ergebnissen besteht.

Betrachten wir das Ereignis "mindestens einmal das rote Feld treffen." Zu diesem Ereignis gehören mehrere Ergebnisse:

$E = \{ \textcolor{green}{G} \textcolor{red}{R}, \textcolor{red}{R} \textcolor{green}{G}, \textcolor{red}{RR}, \textcolor{red}{R} \textcolor{blue}{B}, \textcolor{blue}{B} \textcolor{red}{R}\}$

Um die Wahrscheinlichkeit für diese Ereignismenge zu berechnen, musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse addieren:

$P (E) = P(\textcolor{green}{G} \textcolor{red}{R}) + P (\textcolor{red}{R} \textcolor{green}{G}) + P (\textcolor{red}{RR})  + P(\textcolor{red}{R} \textcolor{blue}{B}) + P (\textcolor{blue}{B} \textcolor{red}{R})$

Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse hast du oben schon mithilfe der Produktregel berechnet:

$P (E) = 0,15 + 0,15 + 0,09 + 0,06 + 0,06 = 0,51 ~~\widehat{=}~~51 \%$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass der Pfeil, bei zweimaligem Drehen, mindestens einmal auf einem roten Feld stoppt, beträgt $51\%$.

Merke

Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Ergebnissen besteht, berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse addierst.

Mit den Übungsaufgaben kannst du nun überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Welche Wahrscheinlichkeit muss auf dem Ast stehen?

image



Teste dein Wissen!

Welche Regeln musst du beim Arbeiten mit dem Baumdiagramm beachten?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lautet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $P(\textcolor{blue}{Blau} \textcolor{red}{Rot}$ oder $\textcolor{red}{Rot} \textcolor{red}{Rot})$?
(in Dezimalschreibweise)

image



Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, musst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ... .

Wie muss der Satz enden? Kreuze an!

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
18.03.2025 , von Stephanie P.
Das man sehr flexibel und ohne großen Aufwand, zwischen den Fächern wechseln kann. Im Büro in Salzgitter sind alle Nachhilfelehrkräfte super und die Bürodame ist immer sehr freundlich und hilfsbereit. Einfach nur super und meine Tochter bekommt alles sehr gut und verständlich erklärt.
18.03.2025 , von Jasmin M.
Toller Ort um sein Wissen zu festigen und zu entwickeln. Die Standortleitung hat sehr viel Empathie.
15.03.2025 , von Bernd N.
Das Kind lernt mit Freude. Die Lehrer sind allesamt sehr nett und reagieren auf Proben in der Schule schnell und flexibel. Meine Tochter lernt daher gerne in der Nachhilfe.

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7905