Permutation mit Wiederholung berechnen
Was ist eine Permutation?
Der Begriff Permutation kommt aus dem Bereich der Kombinatorik
Gut zu wissen
Permutation leitet sich aus dem Lateinischen ab und bedeutet so viel wie vertauschen.
Mithilfe der Permutation können wir berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, verschiedene Objekte in eine Reihenfolge zu bringen bzw. zu kombinieren. Auf unserer Lernseite über Permutation kannst du dir die grundlegenden Regeln noch einmal ansehen.
Um herauszufinden, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es gibt, müssen wir die Anzahl der Objekte, die kombiniert werden sollen, bestimmen. Von dieser Zahl rechnet man nun die sogenannte Fakultät aus.
Beispiel
In einer Urne befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
$n~=~6$
$n!~=~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6~=~720$
Es gibt insgesamt 720 Möglichkeiten.
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Permutationen mit Wiederholung
Dieser einfache Rechenweg funktioniert allerdings nur, wenn es sich um unterschiedliche Objekte handelt. Für den Fall, dass zwei oder mehrere Objekte gleich sind, müssen wir eine andere Berechnung vornehmen.
Beispielsweise könnten die sechs Kugeln aus der Urne nicht alle eine unterschiedliche Farbe haben. Nehmen wir an, dass drei der sechs Kugeln rot sind. Die anderen drei Kugeln sind blau, grün und gelb. Dadurch, dass die Hälfte der Kugeln dieselbe Farbe haben, sinkt die Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten verschiedenfarbiger Kugeln.
Um dennoch herauszufinden, wie viele Kombinationsmöglichkeiten existieren, berechnen wir zunächst alle Kombinationsmöglichkeiten, die möglich wären, wenn die sechs Kugeln verschiedenfarbig sind. Diese Zahl teilen wir nun durch das Produkt der Fakultäten der einzelnen Elemente. Was bedeutet in diesem Fall Elemente?
1. Element: drei rote Kugeln $(3!)$
2. Element: eine blaue Kugel $(1!)$
3. Element: eine grüne Kugel $(1!)$
4. Element: eine gelbe Kugel $(1!)$
Beispiel
$\Large{\frac{6!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}~=~\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{(1\cdot 2 \cdot 3) \cdot (1) \cdot (1) \cdot (1)}~=~\frac{720}{6}~=~120}$
Es gibt also $120$ Möglichkeiten, die sechs Kugeln zu kombinieren. Wären alle Kugeln verschiedenfarbig gewesen, hätte es $720$ Möglichkeiten gegeben.
Elemente, die in der Reihe ohnehin nur einmal vorkommen, tauchen im Nenner mit $1!$ auf. Da $1!~=~1$ müssen wir diese nicht unbedingt mit aufschreiben. Es genügt die Fakultät derjenigen Elemente in den Nenner zu schreiben, die mehrmals vorhanden sind (in unserem Beispiel: $3!$).
Merke
Die Anzahl der Permutationen von $n$ Objekten, von denen $k$ identisch sind, berechnet sich durch:
$\Large{\frac{n!}{k!}}$
Weitere Beispiele
Beispiel
In einer Urne befinden sich drei grüne und zwei gelbe Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe zu ordnen?
$\Large{\frac{n!}{k!}~=~\frac{5!}{3! \cdot 2!}~=~\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1\cdot 2 \cdot 3) \cdot (1\cdot 2)}~=~\frac{120}{12}~=~10}$
Es gibt $10$ Möglichkeiten.
Beispiel
Wie viele fünfstellige Ziffern gibt es, die dreimal die $3$ und zweimal die $4$ enthalten?
$\Large{\frac{n!}{k!}~=~\frac{5!}{3! \cdot 2!}~=~\frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1\cdot 2 \cdot 3)\cdot (1\cdot 2)}~=~\frac{120}{12}~=~10}$
Es gibt $10$ Möglichkeiten.
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