Suche
Kontakt

Schnittmenge und Vereinigungsmenge
Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Schnittmenge und Vereinigungsmenge berechnen! | Statistik verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

Du kennst bereits Begriffe wie Ereignis und Gegenereignis. In diesem Lerntext führen wir zwei neue Begriffe ein, die dir in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft begegnen werden: Schnittmenge und Vereinigungsmenge. Im Gegensatz zum Ereignis/Gegenereignis wirst du auf den Durchschnitt bzw. die Vereinigung erst bei schwierigeren Zufallsversuchen stoßen.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

Die Schnittmenge

Ereignisse eines komplexen Zufallsversuchs können von mehr als nur einer Eigenschaft abhängen. Was genau soll das heißen?

Du kennst wahrscheinlich bereits Zufallsversuche, die sich auf eine Eigenschaft konzentrieren:

  • beim Werfen eines Würfels geht es um die Augenzahl
  • beim Ziehen einer Kugel geht es um die Farbe
  • beim Münzwurf geht es um das Symbol

Betrachten wir folgendes Beispiel: In einem Behältnis liegen grüne und rote Kugeln, auf denen die Zahlen von 0 bis 9 stehen. Beim zufälligen Ziehen einer solchen Kugel kannst du jetzt zwei Eigenschaften untersuchen: Farbe und Zahl.

Beispiel: Ziehen einer Kugel
Beispiel: Ziehen einer Kugel

Wir können für das einmalige Ziehen einer Kugel also zwei Ereignisse formulieren, die sich auf unterschiedliche Eigenschaften beziehen:

  • Ereignis 1: E = Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5.
  • Ereignis 2: F = Es ist eine rote Kugel.

Die Ereignismengen sehen wie folgt aus:

  •  $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
  •  $F = \{0, 2, 3, 8\}$

Nun könnten wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $E$ und $F$ separat berechnen.

Die zwei Ereignisse $E$ und $F$ lassen sich aber auch kombinieren. Wir könnten uns zum Beispiel dafür interessieren, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Kugel gezogen wird, die $rot$ ist und nicht größer als $5$.

Wir führen die beiden Ereignisse zusammen und verknüpfen sie mit einem "mathematischen und." In der Mathematik haben wir für "und" ein eigenes Symbol: $ \cap$

Wir schreiben also:

$E \cap F = \{0, 2, 3\}$

Dies ist die Schnittmenge der beiden Ereignisse $E$ und $F$. In ihr sind nun alle Elemente, die sowohl zum Ereignis $E$ als auch zum Ereignis $F$ gehören. Die Kugeln mit den Zahlen $0$, $2$ und $3$ erfüllen beide Bedingungen, sind also sowohl $rot$ als auch mit einer Zahl nicht größer als $5$ beschriftet.

Wir müssen also erst beide Ereignisse zusammenführen, indem wir die Schnittmenge bilden, um nun die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge berechnen zu können.

$P(E \cap F) = \frac{3}{10} = 0,3 ~~\widehat{=}~~30 \%$

Merke

Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:

Alle Ergebnisse, die sowohl in der einen Ereignismenge ($E$) als auch in der anderen Ereignismenge ($F$) liegen, bilden die Schnittmenge $E \cap F$.

Die Vereinigungsmenge

Betrachten wir noch einmal unser Beispiel:

  • Ereignis 1 (Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5.): $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
  • Ereignis 2 (Es ist eine rote Kugel.): $F = \{0, 2, 3, 8\}$

Wir kennen bereits die Schnittmenge, bei der die beiden Ereignisse mit einem "und" verknüpft werden.

Bei der Vereinigungsmenge setzen wir an die Stelle des "und" ein "oder." Diese "oder" wird in der Mathematik so abgekürzt: $\cup$

Die Kombination der beiden Ereignisse $E$ und $F$ lautet also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Kugel zu ziehen, die entweder rot ist oder mit einer Zahl kleiner gleich 5 beschriftet ist oder beide Bedingungen erfüllt? 

Wie schon bei der Schnittmenge können wir erst durch das Kombinieren der beiden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit rechnerisch ermitteln:

$E \cup F = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 8\}$

$P(E \cup F) = \frac{7}{10} = 0,7 ~~\widehat{=}~~70 \%$

WICHTIG: Die Vereinigungsmenge enthält auch die Elemente der Schnittmenge $E \cap F = \{0, 2, 3\}$.

Merke

Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:

Alle Ereignisse, die in der einen Ereignismenge ($E$) oder in der anderen Ereignismenge ($F$) oder in beiden Ereignismengen ($E \cap F$) liegen, bilden die Vereinigungsmenge $E \cup F$.

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Wie lautet die Schnittmenge $E \cap F$ ?

E = nur gerade Zahlen
F = nur grüne Kugeln

image

Teste dein Wissen!

Wie lautet die Vereinigungsmenge $E \cup F$ ?
 
E= nur ungerade Zahlen
F= nur rote Kugeln

image

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Welcher Term entspricht einer Vereinigungsmenge?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Welcher Term entspricht einer Schnittmenge?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
28.01.2025 , von Siham K.
Sehr gut
15.01.2025 , von Simone K.
Wir sind sehr zufrieden mit dem Studienkreis!
14.01.2025 , von Madlen M.
Meine Tochter geht sehr gerne hin, kurzfristig konnten wir noch eine zweite Stunde/Fach dazubuchen. Es wird sehr auf die Größe der Gruppe geachtet und das es von der Klassenstufe zusammenpasst. So kann es bleiben.

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7907