Mathematik > Wahrscheinlichkeits­rechnung und Statistik

Schnittmenge und Vereinigungsmenge

Inhaltsverzeichnis:

Du kennst bereits Begriffe wie Ereignis und Gegenereignis. In diesem Lerntext führen wir zwei neue Begriffe ein, die dir in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft begegnen werden: Schnittmenge und Vereinigungsmenge. Im Gegensatz zum Ereignis/Gegenereignis wirst du auf den Durchschnitt bzw. die Vereinigung erst bei schwierigeren Zufallsversuchen stoßen.

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Die Schnittmenge

Ereignisse eines komplexen Zufallsversuchs können von mehr als nur einer Eigenschaft abhängen. Was genau soll das heißen?

Du kennst wahrscheinlich bereits Zufallsversuche, die sich auf eine Eigenschaft konzentrieren:

  • beim Werfen eines Würfels geht es um die Augenzahl
  • beim Ziehen einer Kugel geht es um die Farbe
  • beim Münzwurf geht es um das Symbol

Betrachten wir folgendes Beispiel: In einem Behältnis liegen grüne und rote Kugeln, auf denen die Zahlen von 0 bis 9 stehen. Beim zufälligen Ziehen einer solchen Kugel kannst du jetzt zwei Eigenschaften untersuchen: Farbe und Zahl.

Beispiel: Ziehen einer Kugel
Beispiel: Ziehen einer Kugel

Wir können für das einmalige Ziehen einer Kugel also zwei Ereignisse formulieren, die sich auf unterschiedliche Eigenschaften beziehen:

  • Ereignis 1: E = Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5.
  • Ereignis 2: F = Es ist eine rote Kugel.

Die Ereignismengen sehen wie folgt aus:

  •  $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
  •  $F = \{0, 2, 3, 8\}$

Nun könnten wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $E$ und $F$ separat berechnen.

Die zwei Ereignisse $E$ und $F$ lassen sich aber auch kombinieren. Wir könnten uns zum Beispiel dafür interessieren, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Kugel gezogen wird, die $rot$ ist und nicht größer als $5$.

Wir führen die beiden Ereignisse zusammen und verknüpfen sie mit einem "mathematischen und." In der Mathematik haben wir für "und" ein eigenes Symbol: $ \cap$

Wir schreiben also:

$E \cap F = \{0, 2, 3\}$

Dies ist die Schnittmenge der beiden Ereignisse $E$ und $F$. In ihr sind nun alle Elemente, die sowohl zum Ereignis $E$ als auch zum Ereignis $F$ gehören. Die Kugeln mit den Zahlen $0$, $2$ und $3$ erfüllen beide Bedingungen, sind also sowohl $rot$ als auch mit einer Zahl nicht größer als $5$ beschriftet.

Wir müssen also erst beide Ereignisse zusammenführen, indem wir die Schnittmenge bilden, um nun die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge berechnen zu können.

$P(E \cap F) = \frac{3}{10} = 0,3 ~~\widehat{=}~~30 \%$

Merke

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Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:

Alle Ergebnisse, die sowohl in der einen Ereignismenge ($E$) als auch in der anderen Ereignismenge ($F$) liegen, bilden die Schnittmenge $E \cap F$.

Die Vereinigungsmenge

Betrachten wir noch einmal unser Beispiel:

  • Ereignis 1 (Die Kugel trägt höchstens die Zahl 5.): $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
  • Ereignis 2 (Es ist eine rote Kugel.): $F = \{0, 2, 3, 8\}$

Wir kennen bereits die Schnittmenge, bei der die beiden Ereignisse mit einem "und" verknüpft werden.

Bei der Vereinigungsmenge setzen wir an die Stelle des "und" ein "oder." Diese "oder" wird in der Mathematik so abgekürzt: $\cup$

Die Kombination der beiden Ereignisse $E$ und $F$ lautet also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Kugel zu ziehen, die entweder rot ist oder mit einer Zahl kleiner gleich 5 beschriftet ist oder beide Bedingungen erfüllt? 

Wie schon bei der Schnittmenge können wir erst durch das Kombinieren der beiden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit rechnerisch ermitteln:

$E \cup F = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 8\}$

$P(E \cup F) = \frac{7}{10} = 0,7 ~~\widehat{=}~~70 \%$

WICHTIG: Die Vereinigungsmenge enthält auch die Elemente der Schnittmenge $E \cap F = \{0, 2, 3\}$.

Merke

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Bei einem Zufallsversuch, bei dem zwei Eigenschaften betrachtet werden, gilt:

Alle Ereignisse, die in der einen Ereignismenge ($E$) oder in der anderen Ereignismenge ($F$) oder in beiden Ereignismengen ($E \cap F$) liegen, bilden die Vereinigungsmenge $E \cup F$.

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Wie lautet die Schnittmenge $E \cap F$ ?

E = nur gerade Zahlen
F = nur grüne Kugeln

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Wie lautet die Vereinigungsmenge $E \cup F$ ?
 
E= nur ungerade Zahlen
F= nur rote Kugeln

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