Was ist eine Permutation?
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem Begriff der Permutation. Mithilfe der Permutation können wir sehr schnell berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl von Objekten zu ordnen bzw. zu kombinieren.
Was bedeutet Permutation?
Wie oben bereits beschrieben, hilft uns die Permutation dabei herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, Objekte zu kombinieren.
Gut zu wissen
Der Begriff Permutation kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie vertauschen.
Beispiel
In einer Urne befinden sich sieben verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
Eine Möglichkeit der Lösung wäre, alle möglichen Kombinationen aufschreiben. Diese Methode wäre sehr aufwendig. Mithilfe der Permutation können wir dieses Problem einfacher lösen.
Um mit der Permutation rechnen zu können, benötigen wir eine besondere, mathematische Operation: die Fakultät.
Merke
Die Fakultät wird mit einem Ausrufezeichen hinter einer Zahl gekennzeichnet ($n!$) und ist die Kurzschreibweise für das Produkt $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ~...~ \cdot n$
Beispiel
$0!~=~1~=~1$
$1!~=~1~=~1$
$2!~=~1 \cdot 2~=~2$
$3!~=~1 \cdot 2 \cdot 3~=~6$
$4!~=~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4~=~24$
$5!~=~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5~=~120$
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Permutation anwenden
Betrachten wir folgende Beispielaufgabe: Es sollen alle Kombinationsmöglichkeiten der Buchstaben $A$, $B$ und $C$ angegeben werden.
1. Schritt: Anzahl der Objekte ($n$) bestimmen
Zunächst müssen wir die Anzahl an Objekten bestimmen, die kombiniert werden sollen. In diesem Fall handelt es sich um drei Buchstaben.
Es gilt: $n~=~3$
2. Schritt: Fakultät von $n$ berechnen
$n!~=~3!~=~3 \cdot 2 \cdot 1 ~=~ 6$
Es gibt insgesamt also sechs Kombinationsmöglichkeiten. In diesem einfachen Beispiel können wir sie auch problemlos benennen:
- ABC
- ACB
- BAC
- BCA
- CAB
- CBA
Gut zu wissen
Die Rechnung mit Fakultät funktioniert nur bei der Anordnung von Objekten, die alle unterschiedlich sind! (unterschiedliche Werte, Buchstaben etc.)
Weitere Beispielaufgaben
Beispiel
Acht verschiedene Personen sollen sich beliebig auf acht Stühle verteilen. Wie viele Möglichkeiten zur Anordnung der Personen gibt es?
$n~=~8$
$n!~=~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8~=~40320$
Es gibt insgesamt 40.320 Möglichkeiten.
Beispiel
In einer Urne befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
$n~=~6$
$n!~=~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6~=~720$
Es gibt insgesamt 720 Möglichkeiten.
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