Kongruenzsätze: Dreiecke konstruieren - Erklärung
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Eckpunkten, drei Seiten und drei Winkeln besteht. Diese werden immer nach dem gleichen Schema benannt:
Die Punkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben benannt. Den Punkt A kannst du beliebig setzen. Danach erfolgt die Beschriftung der Punkte in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn. Gegenüber des Punktes A liegt die Seite a, gegenüber des Punktes B die Seite b, und gegenüber des Punktes C die Seite c. Die Seiten eines Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben benannt. Die Winkel werden mit kleinen griechischen Buchstaben benannt. Ein Winkel wird immer nach dem Punkt, an dem er liegt, benannt. Das heißt, im Punkt A liegt der Winkel $\alpha$, im Punkt B der Winkel $\beta$, und im Punkt C der Winkel $\gamma$.
Voraussetzungen, um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können
Um ein bestimmtes Dreieck konstruieren zu können, müssen wir bestimmte Angaben, Seiten ($s$) und Winkel ($w$), kennen. Du musst drei Größen des Dreiecks kennen und einen der vier Kongruenzsätze anwenden können, um ein bestimmtes Dreieck konstruieren zu können.
Merke
- $SSS$
- $SWS$
- $SSW$
- $WSW$
Wenn einer der vier Kongruenzsätze erfüllt ist, kann das Dreieck eindeutig konstruiert werden.
Um also ein bestimmtes Dreieck zeichnen zu können, brauchen wir drei Angaben und müssen einen der vier Kongruenzsätze anwenden können. Die drei Winkel eines Dreiecks zu kennen reicht also nicht aus, um ein Dreieck eindeutig zeichnen zu können, denn $WWW$ ist kein Kongruenzsatz. Wenn du nur die Größen der drei Winkel kennst, gibt es nämlich viele unterschiedliche Möglichkeiten, ein Dreieck zu konstruieren.
Um ein Dreieck zu konstruieren, benötigen wir als Hilfsmittel ein Geodreieck und einen Zirkel.
SSS - Dreieck konstruieren
Ein Dreieck kann eindeutig konstruiert werden, wenn die Längen aller drei Seiten bekannt sind.
Methode
Vorgehensweise:
- Ich zeichne eine Skizze und beschrifte sie ($A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$).
- Ich suche mir eine Seite aus und zeichne die Seite mit ihrer gegebenen Länge ein. Anschließend beschrifte ich die Seite mit dem richtigen Kleinbuchstaben und den Anfangspunkt und den Endpunkt der Seite mit den richtigen Großbuchstaben, so wie in der Skizze.
- Ich messe die Länge der zweiten Seite mit dem Zirkel ab und schlage einen Kreisbogen um den richtigen Punkt (Anfangspunkt oder Endpunkt).
- Ich messe die Länge der dritten Seite mit dem Zirkel ab und schlage einen Kreisbogen um den anderen Punkt (Anfangspunkt oder Endpunkt).
- Die beiden Kreisbogen schneiden sich in einem Punkt. Ich markiere diesen Punkt.
- Ich verbinde den markierten Punkt mit dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der ersten Seite. Das Dreieck ist nun konstruiert.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
Beispiel
Konstruiere folgendes Dreieck:
$a= 6~cm, b=3~cm, c=5~cm$
Zunächst fertigen wir eine Skizze an:
Wir zeichnen eine Seite ein. Entscheiden wir uns für die Seite $c$, so müssen wir den Anfangspunkt mit $A$ und den Endpunkt mit $B$ beschriften. Nur so kann der Punkt $C$ gegenüber der Seite $c$ liegen.
Nun schlagen wir um beide Punkte je einen Kreisbogen. Wir setzen die Zirkelspitze auf Punkt $A$ und schlagen um Punkt $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $3~cm$ ($r=3~cm$). Wir setzen die Zirkelspitze auf Punkt $B$ und schlagen um Punkt $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $6~cm$ ($r=6~cm$). Um Punkt $A$ wird also ein Kreisbogen mit der Länge der Seite $b$ geschlagen und um Punkt $B$ ein Kreisbogen mit der Länge der Seite $a$. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbogen ist Punkt $C$.
Punkt $C$ wird nun mit den Punkten $A$ und $B$ verbunden. Das Dreieck ist nun konstruiert. Abschließend solltest du noch alle Punkte, Seiten und Winkel richtig beschriften.
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SWS - Dreieck konstruieren
Wenn wir zwei Seiten eines Dreiecks und den zwischen diesen beiden Seiten liegenden Winkel kennen, können wir das Dreieck eindeutig konstruieren.
Methode
Vorgehensweise:
- Ich zeichne eine Skizze und beschrifte sie ($A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$).
- Ich zeichne eine der beiden bekannten Seiten und beschrifte diese Seite sowie den Anfangspunkt und den Endpunkt.
- Ich zeichne den gegebenen Winkel am richtigen Punkt ein. Es entsteht eine Halbgerade.
- Ich messe die Länge der zweiten Seite auf dieser Halbgeraden ab und markiere den Endpunkt auf der Halbgeraden.
- Ich verbinde den Endpunkt mit den anderen beiden Punkten.
Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:
Beispiel
Konstruiere folgendes Dreieck:
$a=2,5~cm$, $\gamma = 60^\circ$ und $b=5~cm$
Zu Beginn machen wir eine Skizze:
Wir zeichnen zunächst eine Seite (hier die Seite $a$) und tragen am Punkt $C$ den Winkel $\gamma$ ab:
Nun messen wir auf der gestrichelten Linie die Länge der Seite $b$ ab und markieren den Punkt. Der markierte Punkt ist Punkt $A$.
Nun müssen wir nur noch die Punkte $A$ und $B$ verbinden. Das Dreieck ist konstruiert.
SSW - Dreieck konstruieren
Ein Dreieck von welchem zwei Seiten und ein angrenzender Winkel gegeben sind, kann eindeutig konstruiert werden.
Methode
Vorgehensweise:
- Ich zeichne eine Skizze und beschrifte sie ($A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$).
- Ich zeichne die Seite, an die der Winkel angrenzt, und beschrifte die Seite sowie den Anfangspunkt und den Endpunkt.
- Ich zeichne den Winkel am richtigen Punkt der Seite ein. Es entsteht ein freier Schenkel (Halbgerade).
- Ich messe die Länge der zweiten Seite mit dem Zirkel ab und zeichne einen Kreisbogen um den freien Punkt der ersten Seite.
- Der Schnittpunkt des freien Schenkels und des Kreisbogens ist der gesuchte dritte Punkt. Ich verbinde diesen Punkt nun mit den anderen beiden Punkten. Das Dreieck ist konstruiert.
Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:
Beispiel
Konstruiere folgendes Dreieck:
$a=4~cm$, $c=3~cm$ und $\alpha=120^\circ$
Wir fertigen eine Skizze an:
Wir zeichnen zunächst die Seite, die in der Mitte liegt, also hier Seite $c$. Wir benennen den Anfangspunkt und den Endpunkt mit den Buchstaben $A$ und $B$. Am Punkt $A$ wird nun der Winkel $\alpha$ abgetragen und eine Hilfslinie (Halbgerade) eingezeichnet.
Nun wird um den Punkt $B$, also um den Punkt, an dem der Winkel nicht anliegt, mit dem Zirkel ein Kreisbogen geschlagen. Dieser Kreisbogen hat den Radius der zweiten bekannten Seite (hier: $a=4~cm$). Der Kreisbogen und die Halbgerade des Winkels treffen sich in einem Punkt. Dies ist der dritte Punkt des Dreiecks (hier: $C$).
Punkt $C$ wird nun mit den Punkten $A$ und $B$ verbunden. Das Dreieck ist konstruiert.
Abschließend solltest du noch alle Punkte und Seiten (und ggf. auch die Winkel) korrekt beschriften.
WSW - Dreieck konstruieren
Die Länge einer Seite und die Größen der zwei angrenzenden Winkel reichen ebenfalls aus, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren. Das heißt, du musst die Größe von zwei Winkeln kennen und die Länge der Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.
Methode
Vorgehensweise:
- Ich zeichne eine Skizze und beschrifte sie ($A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$).
- Ich zeichne die gegebene Seite.
- Ich trage die beiden Winkel an den Endpunkten der Seite ab und zeichne zwei Hilfslinien (Halbgeraden).
- Die zwei Halbgeraden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist der gesuchte dritte Punkt des Dreiecks.
Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an:
Beispiel
Konstruiere folgendes Dreieck:
$a=4~cm$, $\beta=40^\circ$, $\gamma =80^\circ$
Wir fertigen eine Skizze an:
Die Seite wird eingezeichnet und die beiden gegebenen Winkel werden abgetragen. Die zwei Hilfslinien schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der dritte Punkt des Dreiecks und muss nun mit den anderen beiden Punkten verbunden werden.
Das Dreieck ist nun konstruiert. Abschließend solltest du auch hier wieder alle Punkte, Seiten und Winkel korrekt beschriften.
Nun haben wir die vier Kongruenzsätze und die entsprechenden Konstruktionen kennengelernt. Unsere Übungsaufgaben helfen dir dabei, das Konstruieren von Dreiecken zu üben. Viel Erfolg!
Teste dein Wissen!
Konstruiere ein Dreieck mit den folgenden Angaben: $a=3cm, b= 4cm$ und $c=2 cm$
Welches der hier abgebildeten Dreiecke ist richtig?
Welche Kongruenzsätze existieren, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren?
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