Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Dreiecks- und Viereckskonstruktionen Kongruenzsätze: Dreiecke konstruieren - Erklärung

Kongruenzsätze: Dreiecke konstruieren - Erklärung

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Eckpunkten, drei Seiten und drei Winkeln besteht. Diese werden immer nach dem gleichen Schema benannt:

dreieckbenennung1
Abbildung: beschriftetes Dreieck

Die Punkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben benannt. Den Punkt A kannst du beliebig setzen. Danach erfolgt die Beschriftung der Punkte in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn. Gegenüber des Punktes A liegt die Seite a, gegenüber des Punktes B die Seite b,... Die Seiten eines Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben benannt. Die Winkel werden mit kleinen griechischen Buchstaben benannt. Ein Winkel wird immer nach dem Punkt, an dem er liegt, benannt. Das heißt, im Punkt A liegt der Winkel $\alpha$, im Punkt B der Winkel $\beta$,...

Voraussetzungen, um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können

Um ein bestimmtes Dreieck konstruieren zu können, müssen wir bestimmte Angaben, Seiten ($s$) und Winkel ($w$), kennen. Du musst drei Größen des Dreiecks kennen und einen der vier Kongruenzsätze anwenden können, um ein bestimmtes Dreieck konstruieren zu können.

Merke

Merke

Hier klicken zum AusklappenKongruenzsätze
  • $SSS$
  • $SWS$
  • $SSW$
  • $WSW$

Wenn einer der vier Kongruenzsätze erfüllt ist, dann kann das Dreieck konstruiert werden.

Um also ein bestimmtes Dreieck zeichnen zu können, brauchen wir drei Angaben und müssen einen der vier Kongruenzsätze anwenden können. Die drei Winkel eines Dreiecks zu kennen reicht also nicht aus, um das Dreieck eindeutig zeichnen zu können, denn $WWW$ ist kein Kongruenzsatz. Wenn du nur die Größe der drei Winkel kennst, gibt es nämlich viele verschiedene Möglichkeiten, ein Dreieck zu konstruieren. 

Um ein Dreieck zu konstruieren, benötigen wir als Hilfsmittel ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel.

SSS - Dreieck konstruieren

Ein Dreieck kann durch die Angabe von drei Seitenlängen genau konstruiert werden.

Methode

Methode

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Vorgehensweise:

  1. Eine Skizze zeichnen.
  2. Eine der drei bekannten Seiten einzeichnen.
  3. Die Länge der zweiten Seite mit dem Zirkel abmessen und einen Kreisbogen um den richtigen Punkt schlagen.
  4. Die Länge der dritten Seite mit dem Zirkel abmessen und einen Kreisbogen um den richtigen Punkt schlagen.
  5. Die beiden Kreisbogen treffen sich in einem Punkt. Diesen Punkt markieren wir.
  6. Der markierte Punkt wird mit den anderen beiden Dreieckspunkten verbunden. Das Dreieck ist nun konstruiert.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Konstruiere folgendes Dreieck:

$a= 6~cm, b=3~cm, c=5~cm$

Zunächst fertigen wir eine Skizze an:

skizze1
Abbildung: Skizze

Wir zeichnen eine Seite ein. Nennen wir die Punkte $A$ und $B$, so muss die Seite mit $c$ bezeichnet werden, da sie später dem Punkt $C$ gegenüberliegt.

sssdreieckskonstruktion1
Abbildung: Seite zeichnen

Nun schlagen wir um beide Punkte je einen Kreisbogen. Wir setzen die Zirkelspitze auf Punkt $A$ und schlagen um Punkt $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $3~cm$ ($r=3~cm$). Wir setzen die Zirkelspitze auf Punkt $B$ und schlagen um Punkt $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $6~cm$ ($r=6~cm$). Um Punkt $A$ wird also ein Kreisbogen mit der Länge der Seite $b$ geschlagen und um Punkt $B$ ein Kreisbogen mit der Länge der Seite $a$. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbogen ist Punkt $C$.

sssdreieckskonstruktion2
Abbildung: Schnittpunkt der beiden Kreisbogen markieren

Punkt $C$ wird nun mit den Punkten $A$ und $B$ verbunden. Das Dreieck ist nun konstruiert.

sssdreieckskonstruktion3
Abbildung: Dreieck konstruiert

SWS - Dreieck konstruieren

Wenn wir zwei Seiten eines Dreiecks und den zwischen diesen beiden Seiten liegenden Winkel kennen, können wir das Dreieck eindeutig konstruieren.

Methode

Methode

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Vorgehensweise:

  1. Eine Skizze machen.
  2. Eine Seitenlänge einzeichnen.
  3. Den gegebenen Winkel einzeichnen.
  4. Die Länge der zweiten Seite abmessen und den Endpunkt markieren.
  5. Den Endpunkt mit den anderen beiden Punkten verbinden.

Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Konstruiere ein Dreieck mit den Angaben:

$a=2,5~cm$, $\gamma = 60^\circ$ und $b=5~cm$

Als erstes machen wir eine Skizze:

Bitte Beschreibung eingeben
Abbildung: Skizze

Wir zeichnen zunächst eine Seitenlänge (hier die Länge der Seite $a$) und tragen am Punkt $C$ den Winkel $\gamma$ ab:

konstruktionsws1
Abbildung: Seite und Winkel

Nun messen wir auf der gestrichelten Linie die Länge der Seite $b$ ab und markieren den Punkt. Der markierte Punkt ist Punkt $A$.

konstruktionsws2
Abbildung: Länge am freien Schenkel markieren

Nun müssen nur noch die Punkte $A$ und $B$ verbunden werden, und wir erhalten das zu konstruierende Dreieck.

konstruktionsws3
Abbildung: fertig konstruiertes Dreieck

SSW - Dreieck konstruieren

Ein Dreieck von dem zwei Seiten und ein angrenzender Winkel gegeben sind, kann eindeutig konstruiert werden.

Methode

Methode

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Vorgehensweise:

  1. Eine Skizze machen.
  2. Die Seite, an die der Winkel angrenzt, einzeichnen.
  3. Den Winkel abmessen und eine Hilfslinie einzeichnen.
  4. Die Länge der zweiten Seite mit dem Zirkel abmessen und einen Kreis um den freien Punkt der ersten Seite schlagen.
  5. Der Schnittpunkt der Hilfslinie und des Kreises ist der gesuchte dritte Punkt. Diesen Punkt nun mit den anderen beiden Punkten verbinden.

Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Gegeben sind: $a=4~cm$, $c=3~cm$ und $\alpha=120^\circ$

Eine Skizze anfertigen.

sswdreieckskonstruktion
Abbildung: Skizze SSW

Wir zeichnen zunächst die Seite, die in der Mitte liegt, also hier Seite $c$. Wir benennen den Anfangspunkt und den Endpunkt mit den Buchstaben $A$ und $B$. Am Punkt $A$ wird nun der Winkel $\alpha$ abgetragen und eine Hilfslinie eingezeichnet.

sswdreieckskonstruktion1
Abbildung: Seite und Winkel einzeichnen

Nun wird um den Punkt $B$, also um den Punkt, an dem der Winkel nicht anliegt, mit dem Zirkel ein Kreis geschlagen. Dieser Kreis hat den Radius der zweiten bekannten Seite (hier: $a$). Der Kreis und die Hilfslinie des Winkels treffen sich in einem Punkt. Dies ist der dritte Punkt des Dreiecks (hier: $C$).

sswdreieckskonstruktion2
Abbildung: Der dritte Punkt ist der Schnittpunkt von Kreis und Hilfslinie

Das Dreieck ist nun konstruiert.

WSW - Dreieck konstruieren

Die Länge einer Seite und die Größen der zwei angrenzenden Winkel reichen ebenfalls aus, um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können. Das heißt, du musst die Größe von zwei Winkeln kennen und die Länge der Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.

Methode

Methode

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Vorgehensweise:

  1. Eine Skizze machen.
  2. Die Seite einzeichnen.
  3. Die beiden Winkel an den Endpunkten der Seite abtragen und Hilfslinien einzeichnen.
  4. Die Markierungslinien treffen sich in einem Punkt, welcher der dritte Punkt des Dreiecks ist.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Das Dreieck mit den Winkeln $\beta=40^\circ$ und $\gamma =80^\circ$ und der Seitenlänge $a=4~cm$ soll konstruiert werden.

Eine Skizze machen:

wswdreieckskonstruktion
Abbildung: Skizze

Die Seite wird eingezeichnet und die beiden gegebenen Winkel werden eingezeichnet. Die zwei Hilfslinien treffen sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der dritte Punkt des Dreiecks und muss nun nur noch mit den anderen beiden Punkten verbunden werden.

wswdreieckskonstruktion1
Abbildung: Dreieck konstruieren WSW

Das Dreieck ist nun konstruiert.

Nun haben wir die vier Kongruenzsätze und die entsprechenden Konstruktionen kennengelernt. Unsere Übungsaufgaben helfen dir dabei, das Konstruieren von Dreiecken zu üben. Viel Erfolg dabei!

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