Peripheriewinkelsatz und Umfangswinkelsatz - Erklärung und Beweis

Beweis des Umfangwinkelsatz

Um den Umfangswinkelsatz zu beweisen, müssen wir zunächst beweisen, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel. Die folgende Abbildung veranschaulicht dies:

Abbildung: Der Mittelwinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel

Wir sehen, dass der Mittelpunktswinkel $\beta = 68,22^\circ$ doppelt so groß ist, wie der Umfangswinkel $\alpha = 34,11^\circ$. Dies gilt es zu beweisen! Denn wenn wir dies bewiesen haben, haben wir auch den Umfangswinkelsatz bewiesen. Der Winkel am Mittelpunkt verändert sich beim Bewegen vom Punkt $C$ nicht. Dennoch bleibt der Winkel im Punkt C halb so groß wie der Winkel am Mittelpunkt.

Wir ziehen vom Mittelpunkt zum Punkt $C$ eine Gerade und erhalten drei Dreiecke mit mehreren Winkeln:

Abbildung: Skizze zum Beweis des Umfangswinkelsatzes

Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme jedes beliebigen Dreiecks $180^\circ$ groß ist. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass $\beta = 2\alpha$.

Starten wir mit der Bestimmung von $\delta $ und $\zeta$:

$180^\circ= \epsilon + 2\cdot \delta$

$\epsilon = 180^\circ -2 \delta$

$\zeta = 180^\circ -2 \gamma$

Wir wissen, dass in einem Kreis die Winkelsumme insgesamt aus $360^\circ$ beträgt. Dies wenden wir an:

$360^\circ = \epsilon + \zeta + \beta$

$\beta= 360^\circ -\epsilon - \zeta$

Setzen wir nun die zuvor bestimmten Terme für $\delta $ und $\zeta$ ein:

$\beta= 360^\circ - (180^\circ -2 \delta) - (180^\circ -2 \gamma)$

$\beta= 360^\circ - 180^\circ + 2\delta -180^\circ + 2 \gamma)$

$\beta = 2\delta + 2\gamma$

$\beta = 2 (\delta + \gamma)$

$\beta = 2 \alpha$

Damit ist bewiesen, dass der Umfangswinkel immer halb so groß ist wie der Mittelwinkel. Daraus können wir schließen, dass der Umfangswinkel immer gleich groß ist, da sich der Mittelpunktswinkel beim Bewegen von Punkt $C$ nicht verändert.

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neues Wissen jetzt testen. Viel Erfolg dabei!