Winkel berechnen - Formel und Aufgaben

Beispielaufgabe: Berechnen eines Winkels mit Hilfe der Innenwinkelsumme

Dreieck, Winkel $\alpha$ gefragt

Wir haben dieses Dreieck gegeben und sollen den fehlenden Winkel $\alpha$ berechnen. Wir wissen, dass alle Winkel zusammen $180^\circ$ groß sein müssen. Wenn wir nun die beiden angegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen, erhalten wir die Größe des gesuchten Winkels $\alpha$.

$180^\circ = \alpha +\beta +\gamma$
$180^\circ =\alpha+ 73^\circ+80^\circ$                   $|-73^\circ -80^\circ$
$\alpha = 180^\circ -73^\circ -80^\circ = 27^\circ $

Der Winkel $\alpha$ ist $27^\circ$ groß.

Formeln zu Sinus, Kosinus und Tangens

Die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden. Dabei sind nicht die anderen Winkelgrößen angegeben, sondern die Längen der Seiten des Dreiecks.
Um die Winkelfunktionen anwenden zu können, müssen wir zunächst die Seiten eines Dreiecks benennen können. Die Seiten eines Dreiecks werden auch Kathete genannt und jede Seite hat eine spezielle Bezeichnung:

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber von dem größten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel. Die Gegen- und Ankathete beziehen sich beide auf einen der beiden spitzen Winkel. Hier ist dieser $\beta$. Die Gegenkathete ist gegenüber von dem gegebenen Winkel (hier $\beta$) und die Ankathete liegt direkt an dem Winkel dran (hier $\beta$).

Wenn nun zwei Seitenlängen gegeben sind können wir mit Sinus, Kosinus oder Tangens die dazugehörige Winkelgröße berechnen. Schauen wir uns hier die drei Formeln an:

Winkelberechnung mit Sinus, Kosinus und Tangens

Schauen wir uns eine Beispielaufgabe zur Berechnung eines Winkels im Dreieck an:

Du weißt jetzt, wie du Winkel mithilfe der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen berechnen kannst. Du hast auch gelernt, dass es eine Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken gibt. Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in unseren Übungsaufgaben zu Winkeln und Winkelsummen im Dreieck und Viereck überprüfen. Viel Erfolg dabei!