Suche
Kontakt
>
Mathematik > Geometrie

Winkel berechnen - Formel und Aufgaben

Winkel berechnen - Formel und Aufgaben! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext erklären wir dir, mit welchen Tricks du Winkel berechnen kannst. Dazu werden wir in einem Dreieck Winkel berechnen und auch ein einem Viereck.

Winkelberechnung: Innenwinkelsumme berechnen

Die Innenwinkelsumme beschreibt, wie groß alle Winkel innerhalb einer geometrischen Figur zusammengerechnet sind.
So beträgt zum Beispiel die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer $180^\circ$ und die eines Vierecks $360^\circ$. Diese Erkenntnis kann uns helfen, wenn wir fehlende Winkel ausrechnen wollen.

Gut zu wissen

Man benötigt zwei Winkelangaben in einem Dreieck und drei Winkelangaben in einem Viereck, um jeweils den fehlenden Winkel zu berechnen.

Innenwinkelsumme Dreieck

innenwinkelsumme-dreieck
Innenwinkelsumme Dreieck

Wir können alle Winkel in diesem Dreieck zusammenrechnen und erhalten: $73^\circ+77^\circ+30^\circ = 180^\circ$. Das war auch schon die "Formel" mit der du Winkel im Dreieck zusammenrechnest.

Merke

In jedem Dreieck ergeben die Winkel zusammen immer $180^\circ$.

Innenwinkelsumme Viereck

innenwinkelsumme-viereck
Innenwinkelsumme Viereck

Wir können auch hier alle Winkel dieses Vierecks zusammenrechnen. $95^\circ+108^\circ+97^\circ+60^\circ = 360^\circ$. Wir sehen, dass alle Winkel zusammen $360^\circ$ ergeben. Dieses Ergebnis würden wir bei jedem beliebigen Viereck erhalten.

Merke

In jedem Viereck ergeben die Winkel zusammen immer $360^\circ$.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Beispielaufgabe: Berechnen eines Winkels mit Hilfe der Innenwinkelsumme

innenwinkelsummer-dreieck-aufgabe
Dreieck, Winkel $\alpha$ gefragt

Wir haben dieses Dreieck gegeben und sollen den fehlenden Winkel $\alpha$ berechnen. Wir wissen, dass alle Winkel zusammen $180^\circ$ groß sein müssen. Wenn wir nun die beiden angegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen, erhalten wir die Größe des gesuchten Winkels $\alpha$.

$180^\circ = \alpha +\beta +\gamma$
$180^\circ =\alpha+ 73^\circ+80^\circ$                   $|-73^\circ -80^\circ$
$\alpha = 180^\circ -73^\circ -80^\circ = 27^\circ $

Der Winkel $\alpha$ ist $27^\circ$ groß.

Formeln zu Sinus, Kosinus und Tangens

Die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden. Dabei sind nicht die anderen Winkelgrößen angegeben, sondern die Längen der Seiten des Dreiecks.
Um die Winkelfunktionen anwenden zu können, müssen wir zunächst die Seiten eines Dreiecks benennen können. Die Seiten eines Dreiecks werden auch Kathete genannt und jede Seite hat eine spezielle Bezeichnung:

leicht erklärt text 1

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber von dem größten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel. Die Gegen- und Ankathete beziehen sich beide auf einen der beiden spitzen Winkel. Hier ist dieser $\beta$. Die Gegenkathete ist gegenüber von dem gegebenen Winkel (hier $\beta$) und die Ankathete liegt direkt an dem Winkel dran (hier $\beta$).

Wenn nun zwei Seitenlängen gegeben sind können wir mit Sinus, Kosinus oder Tangens die dazugehörige Winkelgröße berechnen. Schauen wir uns hier die drei Formeln an:

Merke

$Sinus (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$Kosinus (\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$Tangens (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Winkelberechnung mit Sinus, Kosinus und Tangens

Methode

  1. Benenne die Katheten.
  2. Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir dies in einer kleinen Skizze.
  3. Mit Hilfe der Skizze musst du nun überlegen, mit welcher Winkelfunktion du arbeiten kannst.
  4. Als letztes musst du nur noch die Angaben ausrechnen.

Schauen wir uns eine Beispielaufgabe zur Berechnung eines Winkels im Dreieck an:

Beispiel

Winkel

Um die Größe des Winkels α zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bestimmen. Also wird die Gegenkathete durch die Hypotenuse geteilt und das Ergebnis wird in die Umkehrfunktion von Sinus, also in $\sin^{−1}$, eingesetzt.

Beispiel

$\alpha=~?$,  Hypotenuse $=6cm$,  Gegenkathete $=3cm$


$\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$\sin(\alpha)=\frac{3cm}{6cm}=0,5$

$\alpha=\sin^{−1}(0,5)=30^\circ$


Damit beträgt der Winkel $\alpha$ in dem Dreieck $30 ^\circ $.

Du weißt jetzt, wie du Winkel mithilfe der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen berechnen kannst. Du hast auch gelernt, dass es eine Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken gibt. Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in unseren Übungsaufgaben zu Winkeln und Winkelsummen im Dreieck und Viereck überprüfen. Viel Erfolg dabei!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Berechne den Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck!
Die Hypotenuse ist $5cm$ und die Ankathete $3cm$ groß.

Teste dein Wissen!

Wie groß sind die Innenwinkelsummen eines Dreiecks und eines Vierecks?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Mit welcher Kenntnis können wir ganz einfach einen Winkel berechnen, wenn die zwei anderen Winkelgrößen in einem Dreieck gegeben sind?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Ein Dreieck hat drei Winkel, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.
Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind gegeben, $\gamma$ ist gesucht.
$\alpha=53^\circ$, $\beta=22^\circ$
Berechne die Winkelgröße $\gamma$!

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Hausaufgaben-Soforthilfe

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Online Einzelnachhilfe

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Stadt

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

15.05.2024 , von Natascha M.
Freundliches Team, Nachhilfe bringt was.
15.05.2024 , von Susan N.
Wir sind mit allem total zufrieden und vorallem ist unser Sohn zufrieden. Die erste tolle Note nach nur wenigen Stunden Nachhilfe. Danke an das Team in Dresden, ihr macht einen tollen Job.
14.05.2024 , von Kerstin H.
Mein Pflegekind geht gerne hin, sehr kleine Gruppe, Nachhilfe die gut auf den Schüler eingeht. Klappt super
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung
  • Unverbindlich und kostenlos in 2 Probestunden testen
  • Sichere Notenverbesserung durch top Lehrkräfte
  • Innovativstes Lernpaket: App, Hausaufgaben Live-Chat uvm.
1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Bitte wählen Sie einen Studienkreis in Ihrer Nähe aus.

Bitte geben Sie hier Ihre Kontaktdaten ein.

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
8575