Mathematik > Geometrie

So konstruierst du Umkreis und Inkreis eines Dreiecks

Inhaltsverzeichnis:

Neben Seiten und Winkeln können wir an Dreiecken auch den sogenannten Inkreis und den Umkreis bestimmen. Diese Kreise können wir allerdings nicht einfach aus der Figur ablesen, sondern müssen sie zunächst selbstständig konstruieren.

Inkreis eines Dreiecks

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Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks von innen einmal berührt. Die Seiten des Dreiecks sind in diesem Fall also Tangenten des Kreises. Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Inkreis eines Dreiecks
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Konstruktion eines Inkreises

Um einen Inkreis zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor:

1. Schritt: Winkelhalbierende einzeichnen

Die Winkelhalbierende ist eine Halbgerade (oder auch Strahl), die im Scheitelpunkt eines Winkels entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Da Dreiecke drei Winkel besitzen, können wir also insgesamt drei Winkelhalbierende einzeichnen. Zur Konstruktion der Winkelhalbierenden benötigst du einen Zirkel. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie man Winkelhalbierende einzeichnet, kannst du es in unserem Erklärtext zur Konstruktion einer Winkelhalbierenden nachlesen.

Um den Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden zu bestimmen, genügt es zwei der drei Halbgeraden einzuzeichnen.

Dreieck mit zwei Winkelhalbierenden
Dreieck mit zwei Winkelhalbierenden

2. Schritt: Schnittpunkt markieren

Den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden können wir nun einfach ablesen und haben somit den Mittelpunkt ($M$) des Kreises.

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

3. Schritt: Ein Lot von einer Seite des Dreiecks durch den Schnittpunkt zeichnen

Den Mittelpunkt des Inkreises haben wir nun schon eingezeichnet. Um den Kreis konstruieren zu können, fehlt uns nur noch der Radius. Dazu fällen wir ein Lot von einer Seite des Dreiecks (in diesem Fall $c$) durch den Mittelpunkt. Der Abstand zwischen Lotfußpunkt ($L$) und Mittelpunkt ($M$) ist der Radius des Inkreises.

In unserem Erklärtext zum Thema Lot fällen  kannst du noch einmal nachlesen, wie du ein Lot einzeichnest.

Lot von einer Seite des Dreiecks durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Lot von einer Seite des Dreiecks durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

4. Schritt: Inkreis einzeichnen

Wir haben nun sowohl den Mittelpunkt als auch den Radius gegeben und können den Kreis einzeichnen.

Konstruktion des Inkreises
Konstruktion des Inkreises

Umkreis eines Dreiecks

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Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Umkreis eines Dreiecks
Umkreis eines Dreiecks

Konstruktion eines Umkreises

Um den Umkreis eines Dreiecks zu konstruieren, gehen wir wie folgt vor:

1. Schritt: Mittelsenkrechten einzeichnen

Ein Dreieck besitzt drei Mittelsenkrechten, die jeweils senkrecht auf den Seiten des Dreiecks stehen. Um die Mittelsenkrechten zu konstruieren, benötigst du einen Zirkel. Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Mittelsenkrechte einzeichnet, solltest du in unserem Lerntext zum Thema Mittelsenkrechten konstruieren noch einmal üben.

Dreieck mit zwei Mittelsenkrechten
Dreieck mit zwei Mittelsenkrechten

Es genügt, zwei der drei Mittelsenkrechten einzuzeichnen, um den Schnittpunkt ablesen zu können.

2. Schritt: Schnittpunkt einzeichnen

Den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten können wir einfach ablesen. Er entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises und kann inner- oder außerhalb des Dreiecks liegen.

Mittelpunkt des Umkreises
Mittelpunkt des Umkreises

3. Schritt: Kreis einzeichnen

Wie schon beim Inkreis, fehlt uns nun noch der Radius des Kreises. Glücklicherweise können wir diesen auch einfach ablesen. Der Radius des Umkreises ist der Abstand des Mittelpunkts zu den drei Eckpunkten. Wir zeichnen den Kreis also einfach durch einen der Eckpunkte des Dreiecks.

Konstruktion des Umkreises
Konstruktion des Umkreises

Besondere Fälle

Je nach Art des Dreiecks lassen sich verschiedene Spezialfälle unterscheiden:

  • Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer innerhalb des Dreiecks.
  • Bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Mittelpunkt des Umkreises gleichzeitig der Mittelpunkt der Hypotenuse.
  • Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks.

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