Mathematik > Geometrie

Besondere & ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Inhaltsverzeichnis:

In einem Dreieck gibt es bestimmte Punkte, die man für verschiedene Berechnungen benötigt. Diese sogenannten ausgezeichneten Punkte des Dreiecks können nicht einfach aus dem Dreieck abgelesen werden, sondern werden mithilfe geometrischer Konstruktionen am Dreieck bestimmt. Schauen wir uns nun die vier klassischen ausgezeichneten Punkte eines Dreiecks näher an. 

Höhenschnittpunkt ($H$)

Die Höhe eines Dreiecks ist ein Lot, dass von einem Eckpunkt des Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Dementsprechend besitzt ein Dreieck drei unterschiedliche Höhen. Der Schnittpunkt dieser drei Höhen ist der sogenannte Höhenschnittpunkt, den man mit $H$ bezeichnet.

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Der Höhenschnittpunkt $H$ ist der Schnittpunkt aller drei Höhen eines Dreiecks.

Höhenschnittpunkt eines Dreieck
Höhenschnittpunkt eines Dreiecks

In einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel (über $90°$) liegt $H$ außerhalb des Dreiecks. In einem rechtwinkligen Dreieck stimmt der Höhenschnittpunkt mit dem Scheitel des rechten Winkels überein.

Umkreismittelpunkt ($U$)

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks wird mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert. Das Dreieck besitzt pro Seite eine Mittelsenkrechte. Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises. Dieser Umkreis hat zu allen Eckpunkten des Dreiecks denselben Abstand.

Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
Umkreismittelpunkt eines Dreiecks

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Der Umkreismittelpunkt $U$ ist der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks.

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Inkreismittelpunkt ($I$)

Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks von innen berührt. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden. Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Lerne hier mehr über das Einzeichnen von Winkelhalbierenden.

Inkreismittelpunkt eines Dreiecks
Inkreismittelpunkt eines Dreiecks

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Der Inkreismittelpunkt $I$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.

Schwerpunkt ($S$)

Der Schwerpunkt ist eine Art Mittelwert. Er ist der Punkt, an dem die die Fläche des Dreiecks im Gleichgewicht steht. Wir könnten ein ausgeschnittenes Dreieck also mit seinem Schwerpunkt auf eine Bleistiftspitze setzen und es würde nicht herunterfallen. Um den Schwerpunkt des Dreiecks zu bestimmen, müssen wir die Seitenhalbierenden des Dreiecks konstruieren. Die Seitenhalbierenden des Dreiecks sind Strecken, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbinden. Der Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

Schwerpunkt eines Dreiecks
Schwerpunkt eines Dreiecks

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Der Schwerpunkt $S$ ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks.

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