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Drachenviereck - Flächeninhalt und Konstruktion

Drachenviereck - Flächeninhalt und Konstruktion! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text erfährst du alles, was du über Drachenvierecke wissen solltest: Welche Eigenschaften sie haben und wie du den Flächeninhalt und den Umfang berechnen kannst.

Eigenschaften

Ein Drachenviereck hat immer eine Spiegelachse in der Mitte. Die Spiegelachse wird durch die Diagonale gebildet. Das typische Drachenviereck sieht so aus:

drache2
Abbildung: Drachenviereck mit zwei Diagonalen

Dieses Drachenviereck ist symmetrisch zu einer Diagonalen. Die Diagonale ist hier blau gekennzeichnet. Die andere Diagonale ist grün gekennzeichnet. Trennen wir das Viereck durch die grüne Diagonale, entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke.

Woher der Name Drachenviereck kommt, kannst du dir vielleicht schon denken:

drache1a
Abbildung: Drache

Da Drachenvierecke eine Spiegelachse haben, ergeben sich weitere Besonderheiten.

  1.  die Seiten, die sich gegenüberliegen, sind gleich lang
  2.  die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
  3.  die Spiegelachse halbiert die andere Diagonale
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Formeln zur Berechnung

Schauen wir uns ein paar Formeln zu Berechnungen an einem Drachenviereck an:

Methode

Flächeninhalt:

$A = \frac {1}{2} h \cdot c$

Umfang:

$U = 2 \cdot (a+b)$

Die Bedeutung der Abkürzungen $h, c, a $ und $b$ ist hier dargestellt:

drache_bezeichnungen
Abbildung: Drache mit Bezeichnungen

Herleitung der Formeln

Hier schauen wir uns an, wie die Formeln zur Berechnung erklärt werden können.

Flächeninhalt

Betrachten wir folgendes Bild:

drache_faecheninhalt
Abbildung: Flächeninhalt Drache

Der Flächeninhalt von einem Drachenvieleck ist die Höhe (also die Länge der einen Diagonale) mal der Breite (die Länge der anderen Diagonale) geteilt durch zwei. In der Abbildung können wir erkennen, dass der Flächeninhalt von dem Drachenviereck in die Hälfte des Rechtecks hineinpasst. So kannst du dir die Formel ganz einfach merken.

Umfang:

Es ist klar, dass alle Seitenlängen einfach addiert werden müssen. Da die Längen zweimal vorkommen, ergibt sich:

$U = 2\cdot (a+b)$

Beispielaufgabe

Schauen wir uns eine Beispielaufgabe an:

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang dieses Drachenvierecks:

drache_aufgabe
Abbildung: Drache mit Längenangaben

Den Umfang berechnen wir, indem wir die Längen der Seiten zusammenrechnen:

$U = 2 \cdot (20 cm + 34 cm) = 108 cm$

Den Flächeninhalt erhalten wir, indem wir die Höhe mal die Breite rechnen und durch zwei teilen.

$A = \frac{1}{2} *42 cm \cdot 32 cm = 672 cm^2$

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Übungsaufgaben

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Wie groß ist der Umfang eines Drachenvierecks mit folgenden Seitenlängen:

  • $a = 3 cm$
  • $b = 2 cm$
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Wie groß ist der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit folgenden Maßen?

  • Höhe $= 5 cm$
  • Breite $= 2 cm$
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Wie groß ist der Flächeninhalt des Drachenvierecks?

aufgabe_drache

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Was sind die richtigen Formeln, um den Flächeninhalt und den Umfang eines Drachenvierecks zu berechnen?

drache_bezeichnungen

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