Mathematik > Geometrie

Flächeninhalt und Umfang von Dreiecken berechnen

Inhaltsverzeichnis:

Das Dreieck gilt als die einfachste zweidimensionale, geometrische Figur, da es lediglich durch drei Punkte definiert wird.  Aber lasst euch nicht täuschen: auch wenn das Dreieck als die vermeintlich einfachste Figur gilt, sind die Berechnungen nicht immer einfach. Dazu kommt noch, dass man zwischen mehreren Arten von Dreiecken unterscheidet. Schauen wir uns zunächst eine allgemeine Darstellung an.

Allgemeine Darstellung eines Dreiecks
Allgemeine Darstellung eines Dreiecks

Größen im Dreieck: Punkte, Seiten und Winkel

Die großen Buchstaben stehen für die einzelnen Eckpunkte. Für unsere Berechnungen sind diese Punkte noch nicht ganz so wichtig, bei fortgeschrittenen Problemen werden sie für euch aber unverzichtbar, weshalb es Sinn macht sie direkt mitzulernen. Die kleinen Buchstaben entsprechen den einzelnen Seiten. Wichtig ist dabei, dass die Seiten nach den gegenüberliegenden Punkten benannt werden. Schaust du dir beispielsweise den Punkt $B$ an, wirst du feststellen, dass keine der Seiten, die von Punkt $B$ ausgehen, mit $b$ benannt sind, sondern diejenige Seite, die dem Punkt gegenüber liegt.

In einem Dreieck ist aber noch eine andere Größe entscheidend: der Winkel. Dieser richtet sich wiederum nach dem Punkt, aus dem er hervorgeht (ganz im Gegensatz zu den Seitenlängen, wie du eben gelernt hast). Die Winkel werden mit den entsprechenden griechischen Buchstaben benannt (alpha, beta, gamma etc.).

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

In einem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel immer 180° - nie weniger und nie mehr!

Das Rechnen mit Winkeln im Dreieck wird Bestandteil eines anderen Kapitels sein, weshalb wir uns im Moment noch nicht detailliert mit ihnen beschäftigen werden. Spätestens beim Satz des Pythagoras sind diese aber unumgänglich.

Verschiedene Dreiecks-Typen

Je nachdem in welchem Verhältnis die Seitenlängen zueinander stehen, unterscheiden wir verschiedene Dreiecks-Typen:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

1. Ungleichseitiges Dreieck

Die allgemeine Darstellung eines Dreiecks, die du bereits kennengelernt hast, entspricht einem ungleichseitigen Dreieck. Es gilt $a \neq b \neq c$

ungleichseitiges Dreieck
ungleichseitiges Dreieck

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

2. Gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich. Es gilt $a = b = c$

gleichseitiges Dreieck
gleichseitiges Dreieck

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

3. Gleichschenkliges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind nur zwei Seiten gleich. Die von der Spitze des Dreiecks ausgehenden Seiten bezeichnet man als Schenkel. Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind genau diese Seiten gleich lang. Es gilt $a = b \neq c$

gleichschenkliges Dreieck
gleichschenkliges Dreieck

Umfang eines Dreiecks

Die Berechnung von Flächeninhalt und Umfang ist bei allen Dreiecken gleich. Und auch hier ist der Umfang deutlich einfacher zu berechnen. Du musst nur die einzelnen Seitenlängen addieren.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Der Umfang $U$ eines Dreiecks berechnet sich durch die Addition der Seitenlängen.

$U = a + b + c$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Flächeninhalt eines Dreiecks

Für den Flächeninhalt formen wir das Dreieck, wie schon beim Parallelogramm so um, dass sich eine bereits bekannte Figur ergibt. Da man ein Dreieck selbst wieder nur in Dreiecke zerlegen kann, wenden wir dieses Mal eine etwas andere Methode an. Wir nehmen einfach zwei Dreiecke und legen sie so aneinander, dass eine viereckige Figur entsteht. Probiere das doch einmal selbst aus.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.

Wie du siehst, erhalten wir ein Parallelogramm. Dazu wird ein Dreieck um 180° gedreht. Anschließend werden beide Dreiecke zusammengesetzt. Wie du den Flächeninhalt des entstandenen Parallelogramms ausrechnest, weißt du ja bereits.

Aus zwei Dreiecken wird ein Parallelogramm (h entspricht in diesem Fall hc).
Aus zwei Dreiecken wird ein Parallelogramm (h entspricht in diesem Fall hc).

Gehen wir von einem Dreieck aus, dass an der Seite $b$ zusammengeführt wurde (s. Abbildung) erhalten wir für den Flächeninhalt des Parallelogramms $A= c\cdot h_{c}$.

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Vorsicht mit dem Begriff der Höhe.

Beachte bitte, dass wir hier von der Höhe auf die Seitenlänge c sprechen. Wie du weißt, gibt es genauso viele Höhen in einem Parallelogramm oder Dreieck, wie es unterschiedliche Seiten gibt. Sollte dir das neu vorkommen, musst du unbedingt das Kapitel wiederholen, indem wir uns mit Parallelogrammen beschäftigt haben.

Da das Parallelogramm aus insgesamt zwei Dreiecken besteht, musst du den erhaltenen Wert noch durch 2 teilen. Genauso gut funktioniert es, wenn du die Gleichung mit 0,5 multiplizierst.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks errechnet sich aus der halben Grundseite mal der Höhe. Da nicht immer klar ist, was genau die Grundseite ist, können wir diese Regel auch allgemeiner formulieren:

$A = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot h_{a})$

$A = \frac{1}{2} \cdot (b \cdot h_{b})$

$A = \frac{1}{2} \cdot (c \cdot h_{c})$

Sonderfall: Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Bei einem rechtwinkligen Dreieck, das heißt einem Dreieck bei dem einer der drei Winkel 90° beträgt, kann man den Flächeninhalt noch einfacher berechnen. Aus einem solchen Dreieck ergibt sich nämlich eine ganz besondere Form des Parallelogramms, die du bereits kennst: ein Rechteck.

Flächeninhalt bei einem rechtwinkligen Dreieck
Flächeninhalt bei einem rechtwinkligen Dreieck

Auch hier gilt natürlich: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist der halbe des Rechtecks.

 

 

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Der Flächeninhalt $A$ eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich aus der Hälfte des Produktes der am rechten Winkel anliegenden Seiten.

$A = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot b)$

Der Umfang $U$ errechnet sich genauso wie bei anderen Dreiecken.

Vertiefe das Wissen jetzt in den Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Welche Figur ergeben zwei, an der gleichen Seite aneinander gelegte Dreiecke?

Teste dein Wissen!

Wie viele Innenwinkel kannst du in einem Dreieck finden?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Berrechne die Seitenlänge a und den Flächeninhalt A eines Dreiecks.

Folgende Größen sind gegeben:

b = 12 cm

ha = 8cm

hb = 5 cm

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Berechne den Umfang des Dreiecks.

Folgende Größen sind gegeben:

$a = 6 cm$

$b = 4 cm$

$c = 8 cm$

$h_a= 4 cm$

$h_b= 6 cm$

$h_c= 3 cm$

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Geometrie

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

Dreieck mit H?he
Höhensatz des Euklid verstehen und beweisen
Kathetensatz des Euklid
Kathetensatz des Euklid - Was ist das?
Viereck mit zwei rechten Winkeln.
Satz des Pythagoras - Textaufgabe mit Lösungen
Rechtwinkliges Dreieck.
Was ist der Satz des Pythagoras? - Formel und Beweis
Gr??en im Kegelstumpf
Kegelstumpf: Höhe, Volumen und Flächen berechnen
Aufbau eines Kreiskegels.
Kegel: Oberfläche und Volumen berechnen
Kugelsegment
Kugelsegment und Kugelausschnitt
Der Hexaeder
Was sind platonische Körper?
Pyramidenstumpf
Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen
Der Quader.
Quader und Würfel: Formeln für Fläche und Volumen
Die Kugel.
Umfang, Oberfläche und Volumen einer Kugel: Formeln
Beispiel zweier Prismen
Was ist ein Prisma? - Volumen und Oberfläche berechnen
Pyramiden im Quader.
Pyramide: Oberfläche und Volumen berechnen
Aufbau eines Zylinders
Zylinder: Oberfläche und Volumen berechnen
scheitelwinkel-2
Winkelarten und Winkeltypen im Überblick
winkel-5
Winkel messen mit einem Geodreieck
winkel-alltag
Was ist ein Winkel und welche Winkelarten gibt es?
winkel zeichnen 4
Winkel zeichnen mit einem Geodreieck
innenwinkelsumme-dreieck
Winkel berechnen - Formel und Aufgaben
uebersicht-winkel.
Winkelarten und Winkeltypen bestimmen
Achsenspiegelung
Achsenspiegelung: Punkte an einer Achse spiegeln
diagonale
Diagonale von Vierecken und Quadraten berechnen
gerade
Gerade, Strecke, Strahl zeichnen - Einführung in die Geometrie
sssdreieckskonstruktion3
Kreis und Dreieck mithilfe eines Zirkels zeichnen
lot faellen 1
Lot fällen - Schritt für Schritt erklärt
mittelsenkrechte-halbieren einer strecke
Wie zeichnet man eine Mittelsenkrechte?
parallel Geraden
So zeichnest du parallele Geraden
punktspiegelung 3
Punktspiegelung - Schritt für Schritt erklärt
Punktspiegelung_zentrum_2
Spiegelpunkt und Spiegelachse konstruieren
punktspiegelung_2_neu
Unterscheidung Achsen- und Punktspiegelung
winkelhalbiente_7
Winkelhalbierende konstruieren und zeichnen
umfangswinkelsatz_beweis2
Peripheriewinkelsatz und Umfangswinkelsatz - Erklärung und Beweis
sssdreieckskonstruktion3
Kongruenzsätze: Dreiecke konstruieren - Erklärung
Bitte Beschreibung eingeben
Kosinus - Rechnen mit der Winkelfunktion
leicht erkl?rt text 1
Sinus - Rechnen mit der Winkelfunktion
Bitte Beschreibung eingeben
Tangens - Rechnen mit der Winkelfunktion
leicht erkl?rt text 1
Winkelfunktionen in rechtwinkligen Dreiecken
tricks mit 10
Winkelfunktionen im nicht-rechtwinkligen Dreieck berechnen
tan-1
Winkelfunktionen: Textaufgabe mit Lösung
leicht erkl?rt text 1
Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus & Tangens (Formeln)
Zwei ?hnliche Dreiecke
Wie lauten die Kongruenzsätze?
Symmetrie Achsensymmetrie anhand eines Vielecks
Symmetrie von Figuren: Erklärung und Abbildungen
Strahlens?tze Anwendungsbeispiele
Strahlensätze - Aufgaben mit Lösungen
Zweiter Strahlensatz
Erster und zweiter Strahlensatz: Formel und Erklärung
Zentrische Streckung Beispiel
Zentrische Streckung - Einführung & Erklärung
Allgemeine Darstellung eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang von Dreiecken berechnen
Parallelogramm mit der H?he ha
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms berechnen
Fl?cheninhalt eines Parallelogramms
Trapez: Flächeninhalt und Umfang berechnen
drache_bezeichnungen
Drachenviereck - Flächeninhalt und Konstruktion
Von links nach rechts: Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Trapez
Figuren und Flächen in der Mathematik - Eine Einführung
Strecke zwischen A und B
Was ist eine Strecke, eine Halbgerade und eine Gerade?
Eine allgemeine Raute
Raute - Eigenschaften, Flächeninhalt, Umfang berechnen
vielecke
Regelmäßige Vielecke konstruieren und berechnen
zusammengestzte__flaechen_beispiel
Zusammengesetzte Flächen - Flächeninhalt und Umfang
Quadrat (links) und Rechteck (rechts)
Rechtecke und Quadrate: Umfang und Flächeninhalt berechnen
Dreieck mit verl?ngerten Seiten
Ankreis eines Dreiecks konstruieren - Schritt für Schritt erklärt
Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
Besondere & ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Beispiel f?r ein gleichseitiges Dreieck
Dreiecksarten - Namen und Eigenschaften
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
So konstruierst du Umkreis und Inkreis eines Dreiecks
Dreieck mit H?he
Diese Formeln brauchst du zum Dreieck berechnen!
Rechteck 6 x 4
Dimensionen der Geometrie: Flächen und ihre Berechnung
Schr?gbild eines W?rfels
Körpernetze erstellen - Beispiele und Übungsaufgaben
Schr?gbild eines allgemeinen Quaders
Schrägbilder einfacher Figuren zeichnen
Allgemeines Viereck
Vierecke - Eigenschaften und Arten
Schr?gbild eines allgemeinen Quaders
Dimensionen der Geometrie: Volumen berechnen
Schr?gbild eines allgemeinen Quaders
Quader: Fläche und Volumen berechnen
regelm??iges Oktagon
Vielecke: Arten und Eigenschaften
geraden_kreis
Geraden, Strecken und Winkel am Kreis
pi-beweis
Was ist die Kreiszahl Pi? - Erklärung und Herleitung
satz-des-thales
Satz des Thales - Erklärung und Beweis
kreis-1
Kreis - So berechnest du Flächeninhalt und Umfang!
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

Berrin A., vom

Meine Tochter ist zufrieden und kommt gerne

anonymisiert, vom

Alle super freundlich.

Kerstin B., vom

Die Kommunikation mit dem Studienkreis in Brühl zwischen Leitung, Eltern und Kind ist schnell, direkt und ausführlich erklärt. Mein Sohn hat nur positive Erfahrungen bis jetzt dort gemacht.

Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
TÜV-Gütesiegel - Servicequalität Nachhilfe
Service-Champions - Studienkreis - Nr. 1 der Nachhilfeanbieter
n-tv Siegel Testsieger Nachhilfe Studienkreis 2019
WirtschaftsWoche - Höchstes Kundenvertrauen
DtGV-App-Award 2021
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um den am besten geeigneten Lehrer zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschst du Nachhilfe?"
  • "In welchem Fach und bei welchen Themen wird Unterstützung benötigt?"
Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 Probestunden GRATIS & unverbindliche Beratung

In den Probestunden kann Ihr Kind uns testen und die Nachhilfe im Studienkreis kennenlernen.

In einem unverbindlichen Beratungsgespräch mit Ihnen, finden wir gemeinsam die optimale Förderung für Ihr Kind.

1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.

Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2 x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7807