Regelmäßige Vielecke konstruieren und berechnen

Beispielaufgabe

Berechne mit der Angabe den Flächeninhalt und die Innenwinkel.

Abbildung: Beispielaufgabe Vieleck

Versuche den Flächeninhalt und die Größe der Innenwinkel zu berechnen. Gegeben ist der Umfang. Er beträgt $U = 84 cm$. Wenn du nicht weiter weißt, kannst du dir die Lösung anschauen.

Erklärung der Formeln

Schauen wir uns hier die Herleitungen für die Formeln vom Umfang und von den Innenwinkeln an:

Umfang

Die Herleitung für den Umfang ist ganz einfach. Denn es müssen einfach die Längen der Seiten zusammengerechnet werden. Demnach ist der Umfang gleich der Anzahl der Seiten mal der Seitenlänge $\rightarrow U = n \cdot a$.

Innenwinkel

Wie kann der Innenwinkel berechnet werden? Starten wir mit dem einfachsten Vieleck, einem Dreieck.

Abbildung: gleichseitiges Dreieck mit Innenwinkeln

Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme, das heißt die Summe aller Winkel zwischen den Seiten, $180 ^\circ$ groß ist. Da ein gleichseitiges Dreieck drei gleich große Winkel hat, muss diese Zahl nun durch drei geteilt werden. $\rightarrow \frac{180^\circ}{3}= 60 ^\circ $

Der Winkel zwischen den Seiten beträgt jeweils $60°$.

Die Größe der Innenwinkelsumme eines beliebigen Vielecks (also auch in nicht regelmäßigen Vielecken) berechnet man mit der Formel:

Innenwinkelsumme $= (n-2) \cdot 180^\circ $

Dabei ist $n$ die Anzahl der Ecken.

Die Innenwinkelsumme muss nun immer durch die Anzahl der Ecken geteilt:

Innenwinkel = Innenwinkelsumme / Anzahl der Ecken

Innenwinkel $= \frac {(n-2) \cdot 180 ^\circ}{n}$

Damit haben wir die Formeln für die Innenwinkelsumme hergeleitet.

Mit den Übungsaufgaben kannst du dich prüfen. Viel Erfolg dabei!