Umfang, Oberfläche und Volumen einer Kugel: Formeln
In diesem Text erklären wir dir, was eine Kugel ist und wie du ihren Umfang, die Oberfläche und das Volumen berechnen kannst. Zudem zeigen wir dir, wie du einen Kreisausschnitt bestimmen kannst.
Die Kugel
Die Kugel ist ein besonderer geometrischer Körper. Sie ähnelt in vielen Punkten der zweidimensionalen Figur des Kreises und besitzt weder Ecken noch Kanten. Die Kugel besteht aus einer Kugelfläche, deren Punkte alle denselben Abstand zum Mittelpunkt $M$ der Kugel aufweisen. Dieser Abstand ist der Radius $r$ der Kugel. Der doppelte Radius entspricht dem Durchmesser der Kugel. Die Kugel lässt sich nicht weiter auseinandernehmen, sie besteht also weder aus einer Grund- oder Deckfläche noch aus einer Mantelfläche.
Umfang der Kugel
Der Umfang einer Kugel errechnet sich wie der Umfang eines Kreises.
Merke
Merke
Umfang Kugel
$U= 2\cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$
Beispiel
Beispiel
Wie groß ist der Umfang einer Kugel mit dem Radius $6~cm$?
$U = 2\cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 6~cm \approx 37,7~cm$
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Oberfläche einer Kugel
Die Oberfläche einer Kugel ist nicht so einfach zu berechnen, wie die Oberfläche von rechteckigen Figuren. Das liegt vor allem daran, dass sich die Oberfläche der Kugel nicht in mehrere Teile zerlegen lässt, wie die des Zylinders oder die der Pyramide. Die Gleichung zur Berechnung der Kugeloberfläche lautet:
Merke
Merke
Oberfläche Kugel
$O= 4\cdot \pi \cdot r^2 $
Beispiel
Beispiel
Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser $10~cm$?
$d = 2\cdot r \leftrightarrow r = \frac{d}{2} \leftrightarrow r = 5~cm$
$O = 4\cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (5~cm)^2 \approx 314,2~cm^2$
Volumen einer Kugel
Auch für die Berechnung des Kugelvolumens benötigst du lediglich den Radius $r$. Mit folgender Formel kannst du das Volumen einer Kugel berechnen. Möchtest du das Volumen einer Halbkugel berechnen, teile das Ergebnis einfach durch zwei.
Merke
Merke
Volumen Kugel
$V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$
Beispiel
Beispiel
Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r=3~cm$?
$V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3~cm)^3 \approx 113,1~cm^3$
Kreisausschnitt einer Kugel
Der Mittelpunkt der Kugel ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Kreisausschnittes. Dieser Kreisausschnitt halbiert die Kugel. Die Berechnungen des Kreisausschnittes sind dieselben, wie die des Kreises.
Merke
Merke
Berechnungen des Kreisausschnittes
$U= 2 \cdot \pi \ r$
$A = \pi \cdot r^2$
Nun kannst du den Umfang, den Oberflächeninhalt und das Kugelvolumen berechnen. Das sind alle notwendigen Formeln, die du zur Kugelberechnung benötigst. Du kannst dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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Welchen Umfang hat eine Kugel mit dem Radius $r=4~cm$ ?
Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser $d=14~cm$?
Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r=5~cm^3$?
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