Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Geometrische Körper Umfang, Oberfläche und Volumen einer Kugel: Formeln

Umfang, Oberfläche und Volumen einer Kugel: Formeln

In diesem Text erklären wir dir, was eine Kugel ist und wie du ihren Umfang, die Oberfläche und das Volumen berechnen kannst. Zudem zeigen wir dir, wie du einen Kreisausschnitt bestimmen kannst.

Die Kugel

Die Kugel ist ein besonderer geometrischer Körper. Sie ähnelt in vielen Punkten der zweidimensionalen Figur des Kreises und besitzt weder Ecken noch Kanten. Die Kugel besteht aus einer Kugelfläche, deren Punkte alle denselben Abstand zum Mittelpunkt $M$ der Kugel aufweisen. Dieser Abstand ist der Radius $r$ der Kugel. Der doppelte Radius entspricht dem Durchmesser der Kugel. Die Kugel lässt sich nicht weiter auseinandernehmen, sie besteht also weder aus einer Grund- oder Deckfläche noch aus einer Mantelfläche.

Die Kugel.
Die Kugel.

Umfang der Kugel

Der Umfang einer Kugel errechnet sich wie der Umfang eines Kreises.

Merke

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Umfang Kugel

$U= 2\cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Beispiel

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Wie groß ist der Umfang einer Kugel mit dem Radius $6~cm$?

$U = 2\cdot \pi \cdot r =  2 \cdot \pi \cdot 6~cm \approx 37,7~cm$

Oberfläche einer Kugel

Die Oberfläche einer Kugel ist nicht so einfach zu berechnen, wie die Oberfläche von rechteckigen Figuren. Das liegt vor allem daran, dass sich die Oberfläche der Kugel nicht in mehrere Teile zerlegen lässt, wie die des Zylinders oder die der Pyramide. Die Gleichung zur Berechnung der Kugeloberfläche lautet:

Merke

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Oberfläche Kugel

$O= 4\cdot \pi \cdot r^2 $

Beispiel

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Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser $10~cm$?

$d = 2\cdot r \leftrightarrow r = \frac{d}{2} \leftrightarrow r = 5~cm$

$O = 4\cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (5~cm)^2 \approx 314,2~cm^2$

Volumen einer Kugel

Auch für die Berechnung des Kugelvolumens benötigst du lediglich den Radius $r$. Mit folgender Formel kannst du das Volumen einer Kugel berechnen. Möchtest du das Volumen einer Halbkugel berechnen, teile das Ergebnis einfach durch zwei.

Merke

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Volumen Kugel

$V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

Beispiel

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Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r=3~cm$?

$V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3~cm)^3 \approx 113,1~cm^3$

Kreisausschnitt einer Kugel

Der Mittelpunkt der Kugel ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Kreisausschnittes. Dieser Kreisausschnitt halbiert die Kugel. Die Berechnungen des Kreisausschnittes sind dieselben, wie die des Kreises.

Merke

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Berechnungen des Kreisausschnittes

$U= 2 \cdot \pi \ r$

$A = \pi \cdot r^2$

Nun kannst du den Umfang, den Oberflächeninhalt und das Kugelvolumen berechnen. Das sind alle notwendigen Formeln, die du zur Kugelberechnung benötigst. Du kannst dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

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